[論文レビュー] Mapping pure gravity to strings in three-dimensional anti-de Sitter geometry

Bo Sundborg|arXiv (Cornell University)|May 31, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元の純粋な重力（AdS₃）と同一の背景における弦理論との間の古典的双対性を確立する。両者は、同じSL(2,R) × SL(2,R) Chern-Simonsゲージ理論の異なる固定ゲージとして現れることを示し、重力解と弦解の間の局所的かつ可逆的な対応関係を構築する。この対応は、制約付きWess-Zumino-Witten（WZW）モデルを通じて実現され、弦理論における巻き数状態が重力側の特異なLiouvilleのストレステンソルに対応する。

ABSTRACT

Strings propagating in three-dimensional anti-de Sitter space with a background antisymmetric tensor field are well understood, even at the quantum level. Pure three-dimensional gravity with a negative cosmological constant is potentially important because of the existence of black hole solutions and an asymptotic conformal symmetry, but it is mysterious and surprisingly resistant to analysis. In this letter, the two theories are related by a map on the classical level. The map is obtained by gauge fixing the string completely, like in a light cone gauge, and comparing the resulting constrained theory with the boundary theory obtained from gravity by imposing the appropriate asymptotic boundary conditions. The two theories are formally related as different gauge fixings of the same gauge theory.

研究の動機と目的

• 3次元の負の宇宙定数を持つ純粋な重力の量子スペクトルを一貫して定義する長年の曖昧さを解消すること。
• 3次元AdS₃重力の poorly understood古典的および量子的性質と、同じ背景におけるwell-controlledな弦理論との間の溝を埋めること。
• 両者が同じゲージ理論的枠組みの異なる固定ゲージとして現れることを示し、AdS₃重力と弦理論の間の形式的で局所的な写像を確立すること。
• 境界条件および制約（特にBrown-Henneaux条件とVirasoro条件）が重力解と弦解を結ぶ役割を明確にすること。
• 弦理論における巻き数モードの物理的解釈を、重力側から考察すること、特に時空座標におけるその特異性の可能性を検討すること。

提案手法

• SL(2,R) × SL(2,R)ゲージ接続を用いた3次元AdS₃重力の形式的定式化を行い、ビールトを $ e = A - \bar{A} $ と表現し、運動方程式を平坦性条件 $ F = \bar{F} = 0 $ に還元する。
• BrownとHenneauxにインspiredした漸近的境界条件を導入し、境界上で非チャーラルなWZWモデルを得る。その後、ガウス分解によりLiouville理論に還元する。
• SL(2,R)をパラメータ化する $ A, B, C $ を用いたガウス分解 $ G = ABC $ を用い、WZW場 $ G(\xi, \bar{\xi}) = g(\xi)\bar{g}(\bar{\xi}) $ を表現し、チャーラル場 $ \phi, \bar{\phi}, x, y $ を用いてLiouville場 $ \Phi $ を導出する。
• ゲージ自由度を固定するための制約 $ J[E_+] = \kappa $, $ \bar{J}[E_-] = -\kappa $, および $ J[H] = \bar{J}[H] = 0 $ を適用し、WZW解とLiouville方程式を通じた重力解を関連付ける。
• 重力での固定ゲージ（$ J[H] = \bar{J}[H] = 0 $）と弦理論での固定ゲージ（Virasoro制約 $ T = \bar{T} = 0 $）を比較し、両者が同じ基本的なゲージ対称性と整合することを示す。
• 逆の視点を取る：$ J[E_\pm] = \pm\kappa $ を基本的とみなしつつ、$ J[H] = \bar{J}[H] = 0 $ および $ T = \bar{T} = 0 $ を代替的固定ゲージとみなすことにより、重力解と弦解の間の局所的写像を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元の純粋な重力（AdS₃）と同一の背景における弦理論との間で、直接的な古典的写像を確立できるか？
• RQ2 重力における $ J[H] = \bar{J}[H] = 0 $ と弦理論における $ T = \bar{T} = 0 $ の異なる制約構造が、統一されたゲージ理論的枠組み内でどのように関係するか？
• RQ3 弦理論における巻き数モードが重力解に写像された際の時空的解釈は何か？
• RQ4 弦理論におけるVirasoro制約と重力における $ J[H] $ 制約は、同一の解空間をもたらすか。そうでない場合、その解構造の違いは何か？
• RQ5 弦理論側の量子構造がよく理解されていることを踏まえ、AdS₃における重力と弦理論の古典的双対性を量子領域に拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、両者が同じSL(2,R) × SL(2,R) Chern-Simonsゲージ理論の異なる固定ゲージとして現れることを示し、3次元AdS₃重力と弦理論の古典的解の間で局所的かつ可逆的な写像を確立する。
• 光円錐ゲージを固定する制約 $ J[E_+] = \kappa $, $ \bar{J}[E_-] = -\kappa $ は、重力と弦理論の両者に共通しており、写像における統一的基盤をなす。
• 弦理論における非ゼロの巻き数を持つ解は、$ \tau - \sigma $ および $ \tau + \sigma $ 座標における局所的特異性を持つLiouvilleのストレステンソルに対応し、重力側では $ t - \varphi $ および $ t + \varphi $ 時空座標における特異性に翻訳される。
• Banadosゲージにおいてこれらの特異性が存在するが、その解の漸近的構造はBrown-Henneaux境界条件と一貫しており、物理的に許容可能であると考えられる。
• 重力における固定ゲージ（$ J[H] = \bar{J}[H] = 0 $ による）はWZWからLiouvilleへの写像を代数的に固定するが、弦理論におけるVirasoro制約は微分のみを固定するため、境界条件に依存してより大きな解空間を許容する可能性がある。
• この古典的写像の存在は、3次元AdS₃重力を、対称空間内の（超）表面の理論として解釈できることを示唆し、表面の形状が時空幾何を符号化するという、重力の新しい幾何的像を提示する。