[論文レビュー] Mapping spaces and R-completion

David Blanc, Debasis Sen|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 42被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$R = \mathbb{F}_p$ または $\mathbb{Q}$ に対して $A = K(R,n)$ であるとき、単体的集合 $X$ が写像空間 $\operatorname{map}_*(Y, A)$ として現れるための完全な特徴付けを、$\mathbf{\Theta}_R$ と呼ばれる単体的圏によるスケッチを通じて導入された写像代数構造を用いて与える。主な結果は、このような $X$ が $R$-同値に関して一意に再構成可能な $Y$ を持つことであり、コシンプルシビアル解体とスペクトル系列を用いた $R$-完備化の新しいホモトピー的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We study the questions of how to recognize when a simplicial set X is of the form X=map(Y,A) for a given space A, and how to recover Y from X, if so. A full answer is provided when A=K(R,n), for $R=\mathbb{F}_p$ or $\mathbb{Q}$, in terms of a mapping algebra structure on X (defined in terms of product-preserving simplicial functors out of a certain simplicially-enriched sketch). In addition, when A is a suitable infinite loop space for a suitable connective ring spectrum, we can recover Y from map(Y,A) given such a mapping algebra structure. Most importantly, our methods provide a new way of looking at the classical Bousfield-Kan R-completion.

研究の動機と目的

• 与えられた空間 $A$ に対して、単体的集合 $X$ が $\operatorname{map}_*(Y, A)$ に弱同値となるのはいつかを特定すること。特に $R = \mathbb{F}_p$ または $\mathbb{Q}$ のとき $A = K(R,n)$ である場合。
• $X = \operatorname{map}_*(Y, A)$ から、$X$ に追加の代数的構造を与えることにより、$Y$ のホモトピー型を $A$-同値に関して再構成すること。
• 写像代数とコシンプルシビアル解体を用いて、古典的な $R$-完備化の新しいホモトピー的解釈を提供すること。
• 同じ構造的枠組みを用いて、$K(R,n)$ を超えて $\Omega^\infty\mathcal{A}$ に対して $Y$ の再構成を拡張すること、ここで $\mathcal{A}$ は適切な連結環スペクトルである。

提案手法

• $K(R,n)$ 及びそれらの点付き写像空間を生成元とする単体的圏 $\mathbf{\Theta}_R$ を定義し、写像代数に必要な構造を符号化する。
• $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数を、$\mathbf{\Theta}_R$ から単体的集合への積を保存する単体的函手として定義し、$\operatorname{map}_*(Y, A)$ のホモトピー型をモデル化する。
• $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数の自由単体的解体のコシンプルシビアル解体を用いて、$Y$ をリーディー・ファイブランスなコシンプルシビアル空間の全空間として実現する。
• $\mathbf{W}^\bullet$ の全空間に対するホモロジー・スペクトル系列を適用し、強い収束性と得られる空間 $Y$ の $R$-完備性を示す。
• 二重単体的群の対角化を用いて、全空間 $Y$ の写像代数と元の $X$ の間の弱同値を確立する。
• クイレンのスペクトル系列および強い収束定理を活用し、$H_*(Y; R) \cong \Lambda^\dagger$ を示し、$Y$ が $R$-完備かつ $R$-同値に関して一意に決定されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的集合 $X$ が $R = \mathbb{F}_p$ または $\mathbb{Q}$ のとき $\operatorname{map}_*(Y, K(R,n))$ に弱同値となるのはいつか？
• RQ2 $X$ に追加の代数的構造を与えると、$Y$ を $R$-同値に関して再構成できるのはどのような場合か？
• RQ3 写像代数とコシンプルシビアル解体を用いて、$R$-完備化をどのように再解釈できるか？
• RQ4 $K(R,n)$ を超えて、連結環スペクトル $\mathcal{A}$ に対して $\Omega^\infty\mathcal{A}$ へ $Y$ の再構成を拡張できるか？
• RQ5 $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数が単連結な $R$-完備空間 $Y$ から生じるための条件は何か？

主な発見

• $R = \mathbb{F}_p$ または $\mathbb{Q}$ に対して、単連結な $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数 $\mathfrak{X}$ は、弱同値に関して一意な単連結な $R$-完備空間 $Y$ に対して $\mathfrak{M}_R(Y)$ に弱同値である。
• $\mathbf{\Theta}_R$-代数 $\Lambda$ の自由解体 $V_\bullet \to \Lambda$ のコシンプルシビアル解体 $\mathbf{W}^\bullet$ は、リーディー・ファイブランスなコシンプルシビアル空間であり、$\pi_n V_\bullet\{K(R,i)\} \cong \Lambda\{K(R,i)\}$ が次数 0 で成り立ち、それ以外では 0 である。
• $E^2_{m,t} \cong \pi^m H_t(\mathbf{W}^\bullet; R) \Rightarrow H_{t-m}(\operatorname{Tot}\mathbf{W}^\bullet; R)$ であるホモロジー・スペクトル系列は強く収束し、全空間 $Y = \operatorname{Tot}\mathbf{W}^\bullet$ が単連結かつ $R$-完備であることを保証する。
• $Y$ は $H_*(Y; R) \cong \Lambda^\dagger$ を満たすため、$Y$ は $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数の意味で $\mathfrak{X}$ を弱同値に再現する。
• 自然な写像 $c(Y)^\bullet \to \mathbf{W}^\bullet$ は、単体的 $\mathbf{\Theta}_R$-写像代数 $\mathfrak{M}_R(Y) \to \mathfrak{Z} = \|\mathfrak{W}_\bullet\|$ の弱同値を誘導し、$Y$ の再構成を確立する。
• $Y$ が $R$-完備であると仮定すると、[BK1, I, Lemma 5.5] より $Y$ の弱同値に関しての一意性が従う。