[論文レビュー] Mapping Spaces of Gray-Categories

Björn Gohla|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、高次ゲージ理論およびホモトピー論の主要構造であるグレイ圏のための新しいマッピング空間構成を提案する。1次元的構造のコモノイド的分解を上げ、関手的なパス空間を構成することで、擬関手のコ・クリスリー圏における内部自己関手を定義し、高次変換を柔軟かつ合成可能にするフレームワークを提供する。主な貢献は、完全な高次細胞の合成を可能にする、整合性のとれた内部自己関手であり、これは高次接続のモジュライ空間のモデル化を可能にする。

ABSTRACT

We define a mapping space for Gray-enriched categories adapted to higher gauge theory. Our construction differs significantly from the canonical mapping space of enriched categories in that it is much less rigid. The two essential ingredients are a path space construction for Gray-categories and a kind of comonadic resolution of the 1-dimensional structure of a given Gray-category obtained by lifting the resolution of ordinary categories along the canonical fibration of GrayCat over Cat.

研究の動機と目的

• 高次ゲージ理論における3接続のモジュライ空間をモデル化するために不可欠な、高次変換の完全な合成をサポートするグレイ圏のマッピング空間を定義すること。
• 標準的な豊密化カテゴリのマッピング空間の硬直性を克服するため、コモノイド的分解を用いて擬関手のコ・クリスリー圏を導入すること。
• グレイ圏のための関手的パス空間を構成し、高次細胞および変換の内部化を可能にすること。
• コ・クリスリー圏におけるグレイ圏の内部自己関手を定義し、高次整合性データおよび合成と整合性を保証すること。
• グレイ圏間の擬関手の圏におけるモノイド的閉構造の基礎を確立すること。

提案手法

• Cat 上の標準的ファイブレーションを介して、自由圏コモノイドをグレイ圏に上げることで、コモノイド Q1 およびコ・クリスリー圏 GrayCatQ1 を得る。
• グレイ圏のための関手的パス空間を構成し、これは GrayCatQ1 内の内部圏として成立する。
• パス空間構成を繰り返し、n-切断された内部立方体的対象を構築し、3重反復パス空間に至る。
• 内部グレイ圏を、第3反復パス空間の部分対象として定義し、高次細胞および整合性データを捉える。
• ホム関手を適用して、厳密なグレイ関手 G および H に対して [G, H] := GrayCatQ1(G, H→→H→→H→→H) と内部マッピング空間を定義する。
• 摂動および変形を、異なる合成の間を媒介する3次元細胞として導入し、2次コサイクルを介して整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な豊密化マッピング空間の制限を克服し、ラックス変換の完全な合成をサポートするグレイ圏のためのマッピング空間は、どのように定義可能か？
• RQ2 グレイ圏の1次元的構造のコモノイド的分解を用いて、パス空間構成を可能にする柔軟な擬関手の圏を構築できるか？
• RQ3 擬関手のコ・クリスリー圏における内部自己関手を定義し、高次変換を内部化し、合成を可能にすることができるか？
• RQ4 特に変換間の変形を含む高次細胞の整合性データは、どのようにグレイ圏構造を尊重する形で符号化され、合成可能になるか？
• RQ5 得られた内部自己関手は、グレイ圏間の擬関手の圏上でモノイド的閉構造へと拡張可能か？

主な発見

• 本稿は、高次変換の完全な合成をサポートするマッピング空間 [G, H] を GrayCatQ1 に構成し、従来の手法における主要な制限を解消した。
• 内部自己関手 [G, H] は、GrayCatQ1(G, H→→H→→H→→H) として定義され、パス空間構成が高次細胞の整合性を保証する。
• コモノイド Q1 を通じて構築されたコ・クリスリー圏 GrayCatQ1 は、パス空間および内部圏の構成を可能にする柔軟な擬関手の圏を提供する。
• 内部グレイ圏 H→→H→→H→→H は、第3反復パス空間の部分対象として構成され、必要なすべての高次細胞および整合性データを符号化する。
• H がグレイ群小屋である場合、パス空間 H→ およびマッピング空間 [G, H] は両方とも群小屋構造を引き継ぎ、高次細胞の可逆性が保たれる。
• 変換間の変形がコサイクルおよび2次コサイクルを介して、異なる正方形の合成の間で整合性を保証するように構成されている。