[論文レビュー] Maps between higher Bruhat orders and higher Stasheff-Tamari posets

Hugh Thomas|ArXiv.org|Dec 6, 2002

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、高次ブルハット順序 $B(n,d)$ と高次スターシェフ＝タマリポセット $S_1(n,d)$ の凸幾何的記述を提供し、KapranovとVoevodskyによって構成された写像 $f: B(n,d) \to S_1([0,n+1],d+1)$ がRambauの明示的構成と一致し、$d \leq 2$ のとき全射であることを証明する。さらに、$S_1(n,d)$ から $B(n-1,d)$ へのposet埋め込み $g$ を構成し、その像を特徴づけ、リンクや頂点図などの幾何的構造を組合せ的不変量と関連付ける。

ABSTRACT

We make explict a description in terms of convex geometry of the higher Bruhat orders B(n,d) sketched by Kapranov and Voevodsky. We give an analogous description of the higher Stasheff-Tamari poset S_1(n,d). We show that the map f sketched by Kapranov and Voevodsky from B(n,d) to S([0,n+1],d+1) coincides with the map constructed by Rambau, and is a surjection for d<=2. We construct a map analogous to f from S_1(n,d) to B(n-1,d), and show that it is always a poset embedding. We also give an explicit criterion to determine if an element of B(n-1,d) is in the image of this map.

研究の動機と目的

• KapranovとVoevodskyのスケッチを拡張し、高次ブルハット順序 $B(n,d)$ と高次スターシェフ＝タマリポセット $S_1(n,d)$ に対する厳密な凸幾何的解釈を提供すること。
• KapranovとVoevodskyが記述した $B(n,d)$ から $S_1([0,n+1],d+1)$ への写像 $f$ とRambauの明示的構成との同値性を確立すること。
• $f$ が $d \leq 2$ のとき全射であることを証明し、その像に関する重要な問題を解決すること。
• $S_1(n,d)$ から $B(n-1,d)$ への新しい写像 $g$ を定義・解析し、それがposet埋め込みであることを示し、その像に属する要素の条件を提供すること。
• 幾何的構造としてのリンク $\operatorname{lk}_0 \circ f$ と $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}} \circ f$ を幾何的に解釈し、それらを立方体における頂点図とposet内の組合せ的構造に関連付けること。

提案手法

• $B(n,d)$ を $n$ 次元立方体 $[-1,1]^n$ の $d$-素面を通るバックトラッキングのないホモトピーの集合として明示的に定義し、3素面における被覆関係によって順序を定義する。
• $S_1(n,d)$ を頂点が $1$ から $n$ にラベル付けされた $(n-1)$ 次元単体の $d$-素面を通るバックトラッキングのないホモトピーの集合として定義し、逆の細分を順序に用いる。
• $f: B(n,d) \to S_1([0,n+1],d+1)$ を立方体内のパスを単体内のパス列に上げる操作により構成し、隣接するパスのペアに三角形を関連付ける。
• $f$ がRambauの写像と一致することを証明する。両者とも面の接続関係と順序関係に関する同一の幾何的・組合せ的制約を満たすことを示す。
• $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$ を、$C(n,d)$ の三角形分割における単体の鎖を $\binom{[n-1]}{d}$ 上の許容順序に細分することで定義し、パケット内での長方形順序を用いる。
• $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}}(f(\pi))$ などの頂点図やリンクを用いて、$f(\pi)$ の幾何的不変量を立方体の $(1,\dots,1)$ における構造に帰着させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 KapranovとVoevodskyがスケッチした $B(n,d)$ から $S_1([0,n+1],d+1)$ への写像 $f$ は、Rambauの明示的構成と一致するか？
• RQ2 $f$ は [KV] で主張されているように $d \leq 2$ のとき全射か？
• RQ3 $S_1(n,d)$ から $B(n-1,d)$ へのposet埋め込み $g$ を構成できるか？ また、$B(n-1,d)$ の要素がその像に属するための条件は何か？
• RQ4 リンク $\operatorname{lk}_0 \circ f$ と $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}} \circ f$ は、立方体および単体の構造とどのように関係するか？
• RQ5 $B(n,d)$ および $S_1(n,d)$ の区間のホモトピー型は何か？ また、写像 $f$ と $g$ はその順序複体にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $f: B(n,d) \to S_1([0,n+1],d+1)$ はKapranovとVoevodskyによって構成されたものと、Rambauの明示的構成と一致し、両者のアプローチの整合性が確認された。
• $f$ は $d \leq 2$ のとき全射であり、[KV]で主張された全射性の具体的な実現が得られた。
• $g: S_1(n,d) \to B(n-1,d)$ はposet埋め込みであり、$B(n-1,d)$ の要素が $g$ の像に属するための必要十分条件は、その関連する $\binom{[n-1]}{d}$ 上の許容順序が $C(n,d)$ の三角形分割における単体の鎖の細分から生じることである。
• $\pi \in B(n,d)$ に対して $\operatorname{lk}_{\{0,n+1\}}(f(\pi))$ は、$n$ 次元立方体における頂点 $(1,\dots,1)$ における $\pi$ の頂点図と一致する。
• $\operatorname{lk}_0(f(\pi))$ は $S(n+1,d)$ の構造として幾何的に解釈可能であり、単体と立方体の構成を結びつける。
• $g \circ f: B(n,d) \to B(n,d)$ は、高次ブルハット順序間の写像であり、これまでに研究されていなかったものであり、$n$-圏論への応用が期待される。