[論文レビュー] Maps on graphs can be deformed to be coincidence-free

P. Christopher Staecker|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、終域が円周にホメオモーティックでない限り、任意の2つの連結グラフ間の連続写像はホモトピーによって重複点を避けることができる、と証明している。主な手法は『道路の交通』にたとえたもので、グラフ構造の分岐点（フォーク）を用いて、重複点を回避するようにホモトピー的に写像を再ルート化する。この結果、この設定ではニールセン数やライドマイスター・トレースといった非自明な重複不変量がすべて消えることが示され、関連分野の先行研究における誤った主張が無効になる。

ABSTRACT

We give a construction to remove coincidence points of continuous maps on graphs (1-complexes) by changing the maps by homotopies. When the codomain is not homeomorphic to the circle, we show that any pair of maps can be changed by homotopies to be coincidence free. This means that there can be no nontrivial coincidence index, Nielsen coincidence number, or coincidence Reidemeister trace in this setting, and the results of our previous paper "A formula for the coincidence Reidemeister trace of selfmaps on bouquets of circles" are invalid.

研究の動機と目的

• バケツ型の円周への写像に対して非自明な重複不変量を計算できると主張する先行研究における根本的な欠陥を解消すること。
• グラフ上の写像の重複点がホモトピーによって除去可能な条件を確立すること。
• 終域が円周でない場合、重複指数、ニールセン数、ライドマイスター・トレースがすべて消えることの証明。
• 特に[3]において、重複指数がホモトピー不安定であることを示し、それによる誤った重複指数の使用を是正すること。
• 固定点理論と重複理論の違いを、グラフの文脈で明確にすること。

提案手法

• 2つの写像を一本道のネットワーク上の車とみなす、道路交通にたとえたホモトピー戦略を用いる。
• 各重複点を、内部に位置する辺上で局所的なホモトピー変換を適用し、三価頂点（フォーク）を介して写像を再ルート化することで衝突を回避する。
• 写像が共通の頂点に後退し、異なる辺を通り、互いをすれ違い、順序を反転させて元の経路に復帰する、位相的構成を用いる。
• 終域グラフが多様体でないこと（具体的には円周にホメオモーティックでないこと）を仮定し、再ルート化に必要な三価頂点の存在を保証する。
• 問題を重複点が辺の内部にある場合に還元する補題を用い、局所ホモトピー構成を繰り返し適用可能にする。
• 繰り返し適用することで、すべての重複点を除去し、指定された条件下で任意の2つの写像が重複点を避けるホモトピーにできると証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 終域が円周でない場合、任意の2つのグラフ間の連続写像はホモトピーによって重複点を避けることができるか？
• RQ2 なぜ重複指数は、特にバケツ型の円周の文脈でうまくいかないのか？
• RQ3 終域が円周でない場合、グラフ上の写像に対してニールセン数やライドマイスター・トレースの正しい振る舞いは何か？
• RQ4 この設定で重複指数が失敗することにより、[3]における重複ライドマイスター・トレースの公式がどのように無効になるのか？
• RQ5 どのような場合に、グラフ上の写像に対して非自明な重複不変量が依然として存在するのか？

主な発見

• 連結グラフ X から連結グラフ Y への任意の2つの連続写像は、Y が円周にホメオモーティックでない限り、ホモトピーによって重複点を避けることができる。
• 終域が円周でない場合、重複指数、ニールセン数、ライドマイスター・トレースはすべて消える。なぜなら、すべての重複点をホモトピーで除去可能だからである。
• [3]で重複ライドマイスター・トレースを計算するための構成は根本的に誤りであり、重複値がワッセ・ポイントを通過する際に予測不能に変化する、不適切な重複指数に依存している。
• [3]の誤りは、非ワッセ・ポイント付近で空間を微分可能多様体とみなして重複指数を定義していることに起因するが、画像がワッセ・ポイントを通過するときホモトピーで不安定になる。
• 終域が円周の場合、非自明な重複不変量は依然として存在する。例えば、f,g: S¹ → S¹ に対して MC(f,g) = |deg(f) - deg(g)| が成り立つ。
• この結果により、グラフ上の重複理論は固定点理論の一般化ではないことが示された。なぜなら、グラフ上の自己写像の固定点は本質的（除去不能）であることがあるが、恒等写像との重複点は常にホモトピーで除去可能だからである。