[論文レビュー] Marcinkiewicz-Zygmund Strong Law of Large Numbers for Pairwise i.i.d. Random Variables

V. M. Korchevsky|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Probability and Risk Models参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$1 < p < 2$ に対して $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ の条件下で、対ごとに独立な同分布の確率変数に対する Marcinkiewicz–Zygmund の大数法則を確立する。独立な列から対ごとに独立な列へ古典的結果を拡張することで、$(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0$ がほとんど確実に成り立つことを証明し、モーメントのバウンドと打ち切り技術を用いて、より弱い従属仮定の下で古典的定理を一般化する。

ABSTRACT

It is shown that the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers holds for pairwise independent identically distributed random variables. It is proved that if $X_{1}, X_{2}, \ldots$ are pairwise independent identically distributed random variables such that $E|X_{1}|^p &lt; \infty$ for some $1 &lt; p &lt; 2$, then $(S_{n}-ES_{n})/n^{1/p} o 0$ a.s. where $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} X_{k}$.

研究の動機と目的

• 独立な同分布確率変数から、対ごとに独立な同分布（i.i.d.）確率変数への Marcinkiewicz–Zygmund の大数法則の拡張を図ること。
• 対ごとに独立な下で、$\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）が成り立つならば、$(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ のほとんど確実収束が成立するかを特定すること。
• 文献における空白を埋め、古典的 Marcinkiewicz–Zygmund 定理がより弱い対ごとに独立な仮定のもとで成立することを示すこと。
• Etemadi, Sawyer, Petrov の結果と本稿の結果を統合し、対ごとに独立な同分布列に対する大数法則の統一的一般化を提供すること。

提案手法

• 大きな偏差を制御するため、確率変数をレベル $n^{1/p}$ で打ち切り、モーメント不等式を適用すること。
• 積分可能性条件 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ に基づき、Borel–Cantelli レムマを用いて、打ち切り尾部がほとんど確実に消えることを示すこと。
• 特に $\mathbb{E}(|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}})$ のような打ち切り変数のモーメントバウンドを適用し、それらの正規化された和が 0 に収束することを示すこと。
• 二進ブロック法を用い、和 $S_n$ をサイズ $2^n$ のブロックに分解し、各ブロック内での打ち切り部分和の挙動を分析すること。
• 打ち切りとブロック内での独立性を用いて、各ブロックにおける最大偏差をバウンドし、正規化中心化和のほとんど確実収束を確立すること。
• レムマ 1–3 における尾部挙動とモーメントの減衰に関する結果を、最大不等式の議論と組み合わせ、正規化和のほとんど確実収束を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）の下で、対ごとに独立な同分布確率変数に対して Marcinkiewicz–Zygmund の大数法則が成立するか？
• RQ2 古典的 Marcinkiewicz–Zygmund 定理における独立性仮定を、ほとんど確実収束を失うことなく、対ごとに独立に弱めることができるか？
• RQ3 積分可能性条件 $\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$ は、対ごとに独立な下で $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p}$ の収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 分布の尾部における打ち切りとモーメント推定は、対ごとに独立な場合のほとんど確実収束の証明にどのように寄与するか？

主な発見

• 対ごとに独立な同分布確率変数に対して、$\mathbb{E}|X_1|^p < \infty$（$1 < p < 2$）の下で Marcinkiewicz–Zygmund の大数法則が成立する。
• 正規化中心化和 $(S_n - \mathbb{E}S_n)/n^{1/p} \to 0$ は、確率変数が対ごとに独立である場合でもほとんど確実に成り立つ。
• 証明は、確率変数を $n^{1/p}$ で打ち切り、Borel–Cantelli レムマを用いて尾部の寄与がほとんど確実に消えることを示すことに依存する。
• 打ち切り変数の期待値は、$ \frac{1}{n^{1/p}} \sum_{i=1}^n \mathbb{E}[|X_i| \mathbb{I}_{\{|X_i| > n^{1/p}\}}] \to 0 $ と $n \to \infty$ の下で成り立つ。
• 二進ブロックにおける打ち切り変数の分散の和は有限であり、最大不等式の議論により、ブロック和のほとんど確実収束が保証される。
• 本結果は、定理 A（Marcinkiewicz–Zygmund）を対ごとに独立な i.i.d. の場合に一般化し、対ごとに独立な下で $0 < p < 2$ の統一的強大数法則を完成させる。