[論文レビュー] Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part I: Theoretical Foundations

J. D. Deuschel, Peter K. Friz+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、小ノイズ漸近法を用いて、超楕円型拡散過程および確率ボラティリティモデルの周辺密度展開の理論的枠組みを構築する。古典的な「切断特異点にない」という条件を一般化する、新たな非焦点性条件を導入し、ドリフトに沿ったウィーナー空間上のラプラス法を用いて、確率ボラティリティモデルにおける尾挙動を捉えるために不可欠な2次指数項を可能にする。

ABSTRACT

Density expansions for hypoelliptic diffusions $(X^1,...,X^d)$ are revisited. In particular, we are interested in density expansions of the projection $(X_T^1,...,X_T^l)$, at time $T>0$, with $l \leq d$. Global conditions are found which replace the well-known "not-in-cutlocus" condition known from heat-kernel asymptotics. Our small noise expansion allows for a "second order" exponential factor. As application, new light is shed on the Takanobu--Watanabe expansion of Brownian motion and Levy's stochastic area. Further applications include tail and implied volatility asymptotics in some stochastic volatility models, discussed in a compagnion paper.

研究の動機と目的

• 超楕円型拡散過程の小ノイズ密度展開を、標準的な「切断特異点にない」という条件を越えて、非マルコフ的かつ投影された設定に拡張すること。
• 最小化子の非退化性を保証する、グローバルかつ検証可能な非焦点性条件を確立すること。
• ドリフトまたは初期条件が1次的にノイズパラメータに依存する場合に生じる2次指数項を展開に組み込むこと。
• 確率ボラティリティモデルにおける尾挙動およびインプライドボラティリティの漸近的性質の理論的基盤を、共同論文[14]に応用して構築すること。

提案手法

• アゼンコット、ビスム、ベナロスに続く、ウィーナー空間上のラプラス法を適用し、投影された拡散過程の周辺密度の小ノイズ展開を導出する。
• 小ノイズSDEの定式化を用いる：$ dX_t^\varepsilon = b(\varepsilon, X_t^\varepsilon)dt + \varepsilon \sigma(X_t^\varepsilon)dW_t $、初期値 $ X_0^\varepsilon = x_0^\varepsilon $、$ \varepsilon \downarrow 0 $ の極限を分析する。
• 強いホルマンダー条件を課し、最小化子におけるマリャビン共分散行列の逆行列性を保証することで、非退化性を確保する。
• サブマニフォールド $ N_y = \{(y, \cdot)\} \subset \mathbb{R}^d $ に対して焦点点が存在しないことによって定義される、新たなグローバル非焦点性条件を導入し、古典的な切断特異点条件に代わる。
• 展開式 $ f^\varepsilon(y,T) = e^{-c_1/\varepsilon^2} e^{c_2/\varepsilon} \varepsilon^{-l} (c_0 + O(\varepsilon)) $ を導出する。ここで $ c_2 \neq 0 $ であれば、2次指数補正が可能となる。
• ヘイゼンバーグ群およびリーヴィ面を伴うブラウン運動に対して理論を適用し、竹野・渡辺の既知の展開を回復・拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小ノイズ拡散過程の非マルコフ的かつ投影された設定において、非可換リーマン幾何学的構造とドリフトを伴う場合に、古典的な「切断特異点にない」という条件をどのように一般化できるか。
• RQ2 拡散過程が超楕円的であり、投影が非マルコフ的である場合に、小ノイズ密度展開における最小化子の非退化性を保証する条件は何か。
• RQ3 ドリフトまたは初期条件に $ \varepsilon $ に依存する1次項が存在するような状況では、密度展開に2次指数因子が現れるのはどのような設定か。
• RQ4 制御理論的一般的な文脈において、非焦点性条件を有限次元的かつ検証可能な基準としてどのように定式化できるか。
• RQ5 このような展開が、確率ボラティリティモデルにおける尾挙動およびインプライドボラティリティの漸近的性質に与える影響は何か。

主な発見

• 本稿は、超楕円型拡散過程の密度展開において、古典的な「切断特異点にない」という条件に代わる、新たな非焦点性条件を確立し、最小化子の非退化性を保証する。
• 展開式 $ f^\varepsilon(y,T) = e^{-c_1/\varepsilon^2} e^{c_2/\varepsilon} \varepsilon^{-l} (c_0 + O(\varepsilon)) $ の形で小ノイズ密度展開を証明し、$ c_2 \neq 0 $ であることにより2次指数補正が可能となる。
• $ \varepsilon $-スケーリングされたヘイゼンバーグ群上のブラウン運動で、初期位置が $ (0, \varepsilon \hat{y}_0, \varepsilon \hat{z}_0) $ である場合、時間 $ T=1 $ における周辺密度は $ f_\varepsilon(x,z;1) \sim e^{-\pi z/\varepsilon^2} e^{\pi(\hat{z}_0 - \hat{y}_0 x/2)/\varepsilon} \varepsilon^{-2} c_0 $ を満たし、$ c_0 > 0 $ である。
• 初期条件 $ \hat{y}_0 = \hat{z}_0 = 0 $ の場合に既知の結果が回復され、2次項は $ \varepsilon $ に1次的に依存する初期条件の摂動に起因する。
• 無限次元のマリャビン共分散行列の非退化性を検証する有限次元的基準を提供し、先行研究[32, 33]がこの条件を暗黙的としたのを改善する。
• 本手法により、確率ボラティリティモデルにおける尾挙動およびインプライドボラティリティの漸近的性質への応用が可能となり、共同論文[14]で詳細に示されているように、このような2次項が本質的役割を果たす。