[論文レビュー] Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part II: Applications [to the Stein--Stein model]

J. D. Deuschel, Peter K. Friz+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、相関付きStein–Stein確率ボラティリティモデルの尾部密度に対する最初の厳密な漸近展開を確立し、GulisashviliとStein（2009）が残した未解決問題を解決する。微小ノイズおよび微小時間密度展開を、ドリフト付きの部分リーマン幾何学に裏打ちして用い、大ストライク領域におけるインプライドボラティリティスケールの正確な形を導出し、一般のモーメント爆発理論が予測する平方根漸近挙動を確認する。

ABSTRACT

In the compagnion paper [Marginal density expansions for diffusions and stochastic volatility, part I] we discussed density expansions for multidimensional diffusions $(X^1,...,X^d)$, at fixed time $T$ and projected to their first $l$ coordinates, in the small noise regime. Global conditions were found which replace the well-known "not-in-cutlocus" condition known from heat-kernel asymptotics. In the present paper we discuss financial applications; these include tail and implied volatility asymptotics in some correlated stochastic volatility models. In particular, we solve a problem left open by A. Gulisashvili and E.M. Stein (2009).

研究の動機と目的

• GulisashviliとStein（2009）が未解決のまま残した、相関付きStein–Stein確率ボラティリティモデルにおける尾部およびインプライドボラティリティの漸近的性質を解消すること。
• 文献[17]の微小ノイズ密度展開フレームワークを、非マルコフ的かつ退化構造を持つ相関付き確率ボラティリティモデルに拡張すること。
• 一般のスケーリングおよび非退化条件のもとで、大ストライク領域における株価対数価格の周辺密度に対する厳密な漸近公式を確立すること。
• 相関付きモデルにおける大ストライク極限におけるインプライドボラティリティの平方根的成長を検証し、モーメント爆発理論と整合すること。
• HestonモデルやLions–Musielaモデルのような退化モデルにおいて、大偏差原理の形式的応用が失敗することを示し、その有効性が成立する条件を明確にすること。

提案手法

• 微小パrameter $ \u0005C3B5 \downarrow 0 $ を用いて、$ dX_t^\u0005C3B5 = b(\u0005C3B5, X_t^\u0005C3B5)dt + \u0005C3B5 \sigma(X_t^\u0005C3B5)dW_t $ を満たす過程 $ X_t^\u0005C3B5 $ の射影過程 $ Y_t^\u0005C3B5 = \Pi_l \circ X_t^\u0005C3B5 $ について、微小ノイズ密度展開を導出する。
• ドリフト付き部分リーマン幾何学を用いて、微小ノイズ密度の挙動を特徴づけ、古典的な「カットリムの外」という条件を、グローバルな正則性および非退化性基準に置き換える。
• 非相関ケースではHull–White公式を基礎とし、拡散生成子および関連する制御問題の幾何学的・確率的解析を通じて、それを相関ケースに拡張する。
• 大ストライク領域における対数価格密度の漸近形 $ f(y,T) = e^{-c_1 y^{2/\theta}} e^{c_2 y^{1/\theta}} y^{\frac{1}{\theta}-1} (c_0 + O(1/y^{1/\theta})) $ を $ \theta = 2 $ として確立する。
• 一般パrameter領域 $ \rho \in (-1,0], b \leq 0, c > 0, T > 0 $ において、制御問題の非退化性を $ \partial z_0 / \partial p \big|_\ast \neq 0 $ を示すことによって検証し、展開の有効性を保証する。
• HestonモデルやLions–Musielaモデルなどの既知のモデルと比較し、退化性や滑らかさの欠如によって、大偏差理論の形式的応用が失敗する条件を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モーメント爆発理論が予測するように、相関付きStein–Steinモデルも非相関ケースと同様にインプライドボラティリティで平方根漸近挙動を示すか？
• RQ2 文献[17]の微小ノイズ密度展開フレームワークを、拡散係数が退化する相関付き確率ボラティリティモデルに厳密に適用可能か？
• RQ3 相関付きStein–Steinモデルにおける株価対数価格の尾部密度に現れる代数的および指数的要因は何か？
• RQ4 HestonモデルやLions–Musielaモデルのようなモデルで、大偏差原理の形式的応用がなぜ失敗するのか、またその有効性が回復する条件は何か？
• RQ5 相関の存在が、確率ボラティリティモデルにおけるインプライドボラティリティスケールの構造にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、相関付きStein–Steinモデルの尾部密度展開に対する最初の厳密な導出を確立し、GulisashviliとStein（2009）が提起した未解決問題を解決する。その結果、$ f(s) = s^{-B_1} e^{B_2 \sqrt{\log s}} (\log s)^{-1/2} (B_0 + O((\log s)^{-1/2})) $ として、$ s \uparrow \infty $ の漸近形が確認された。
• 大ストライク領域におけるインプライドボラティリティは、$ \sigma_{BS}(k,T)^2 T = (\beta_1 \sqrt{k} + \beta_2 + o(1))^2 $ を満たし、$ \beta_1 = \sqrt{2}(\sqrt{B_1 - 1} - \sqrt{B_1 - 2}) $、$ \beta_2 = \frac{B_2}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{B_1 - 2}} - \frac{1}{\sqrt{B_1 - 1}} \right) $ である。これは市場データで観察される平方根スケールパターンと一致する。
• すべての $ \rho \in (-1,0], b \leq 0, c > 0, T > 0 $ に対して、非退化条件 $ \partial z_0 / \partial p \big|_\ast \neq 0 $ が検証され、現実的な金融パrameter領域でも展開の有効性が保証される。
• 本手法により、Hestonモデルの尾部要因 $ y^{-3/4 + a/c^2} $ が、$ \theta = 2 $ スケーリング下で期待される $ y^{-1/2} $ とは一致しないことが確認された。ただし、$ a = c^2/4 $ の場合、それはStein–Stein形式に還元され、一貫性が回復する。
• 解析により、HestonモデルやLions–Musielaモデルのような退化モデルでは、変動過程の滑らかさの欠如や退化性のため、大偏差原理の形式的応用が失敗することが示された。これは、$ \theta = 2 $ スケーリングが存在しても同様に成立する。