[論文レビュー] Marginalizing the likelihood function for modeled gravitational wave searches

Sanjeev Dhurandhar, B. Krishnan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2017

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、回転群の行列要素を用いて、4つの外的重力波パラメータ（振幅、初期位相、偏光角、軌道傾斜角）を複素振幅に再定式化することにより、尤度関数の周辺化を解析的に実行する手法を提示する。主な貢献は、高SNR領域におけるB統計量の閉形式近似を導出することであり、これにより、短時間の連星合体信号と中性子星からの連続波信号の両方に対する効率的なベイズ検出が可能になる。

ABSTRACT

Matched filtering is a commonly used technique in gravitational wave searches for signals from compact binary systems and from rapidly rotating neutron stars. A common issue in these searches is dealing with four extrinsic parameters which do not affect the phase evolution of the system: the overall amplitude, initial phase, and two angles determining the overall orientation of the system. The F-statistic maximizes the likelihood function analytically over these parameters, while the B-statistic marginalizes over them. The B-statistic, while potentially more powerful and capable of incorporating astrophysical priors, is not as widely used because of the computational difficulty of performing the marginalization. In this paper we address this difficulty and show how the marginalization can be done analytically by combining the four parameters into a set of complex amplitudes. The results of this paper are applicable to both transient non-precessing binary coalescence events, and to long lived signals from rapidly rotating neutron stars.

研究の動機と目的

• ベイズ検出における4つの外的重力波パラメータ（A, ϕ₀, ψ, ι）の周辺化に伴う計算課題に対処する。
• ネイジスパラメータを回転群行列要素 Tℓmn を用いて再定式化することで、B統計量の積分の非可解性を克服する。
• 短時間および連続信号両方の実用的ベイズ探索を可能にするために、B統計量の高SNR近似を構築する。
• コンパクト連星合体と高速回転中性子星からの長期間信号の両方に適用可能な統一的枠組みを提供する。
• 解析的周辺化により計算可能性を保ちながら、検出にアストロフィジカルな事前分布を組み込むことを可能にする。

提案手法

• S³ 上のホフフォード座標を用いて、4つの外的パラメータ（A, ϕ₀, ψ, ι）を複素振幅に再定式化し、回転群 SU(2) をパrameterizeする。
• 尤度関数をこれらの複素振幅で表現し、周辺化積分を漸近的解析に適した形に変換する。
• 勾配降下法を適用して、B統計量の高SNR極限を近似し、データベクトル Y とノイズ重み付き内積  B̂†N B̂ を含む閉形式の式を得る。
• B統計量の2つの異なる解析的表現を導出する：信号が純粋に円偏光でない場合に有効な式（式104）、および1つの振幅成分が消える特異な場合に有効な式（式111）。
• 得られた式により、ネイジスパラメータに関する数値積分の必要性を排除し、計算コストを顕著に削減する。
• 非特異な場合に、指数因子とデータベクトル  B̂ への依存がF統計量と一致することを示し、特異な場合では物理的に不適切な発散を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4つの外的重力波パラメータの尤度関数の周辺化を解析的に実行することで、効率的なベイズ検出を可能にすることができるか？
• RQ2 計算コストの高い数値積分を避けても、高SNR領域におけるB統計量をどのように近似できるか？
• RQ3 1つの複素振幅が消える（例：純粋に円偏光信号）という特異な場合におけるB統計量の挙動はいかなるものか？
• RQ4 現在の主モード波形に制限されているが、高次モードを有する非プレセッシング系やプレセッシング連星への拡張は可能か？
• RQ5 アストロフィジカルな事前分布を組み込んだ場合、標準的なF統計量と比較して、提案手法の検出感度と計算効率はどのように異なるか？

主な発見

• 本稿では、高SNR極限におけるB統計量の閉形式近似を導出し、短時間の連星合体信号と連続重力波信号の両方に有効であることを示した。
• B統計量はデータベクトル Y とノイズ重み付き内積  B̂†N B̂ で表現され、非特異な場合にF統計量の指数的依存と一致する関数的形をしている。
• 特異な場合（例：純粋に円偏光信号）では、特異性を正則化するための因子 (ζ² − k²)^1/4 を含む別個の解析的表現（式111）を用いることで、物理的に不適切な発散を回避する。
• 得られたB統計量は計算的に扱いやすく、振幅および姿勢に関するアストロフィジカルな事前分布の使用を可能にし、F統計量よりも検出感度を向上させる。
• 事前分布が真の分布と一致する場合、本手法はネイマン＝ピアソンの最適検出基準と整合的であることが示された。
• ベイズフレームワークがパラメータの不一致を扱えることから、高次モードやプレセッシング系への拡張は、振幅パラメータの数を増やすことで自然に可能になる。