[論文レビュー] Market Implied Probability Distributions and Bayesian Skew Estimation

Ulrich Kirchner|ArXiv.org|Nov 4, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、希少なオプション市場データから市場が暗黙的に反映する確率分布を推定するためのベイジアンフレームワークを提案する。ボラティリティスケューを単一の最良適合曲線ではなく、複数の可能なモデルの分布として扱う。スケューのパラメータ（ボラティリティ、勾配、曲率）を多変量の事後分布としてモデル化し、'曇りスマイル'と呼ばれる可視化手法を導入することで、特にATM（現在の価格）のストライクにおいて、暗黙の確率に内在する不確実性を定量化する。これは、決定論的スケュー適合法とは対照的に、より頑健な代替手法を提供する。

ABSTRACT

We review and illustrate how the volatility smile translates into a probability distribution, the market-implied probability distribution representing believes priced in. The effects of changes in the smile are examined. Special attention is given to the effects of slope, which might appear at first counter-intuitive. We then show how Bayesian methods can be used to deal with sparse real market data. With each skew in a parametric model we associate a probability. This is illustrated with an example, for which multivariate parameter distributions are derived. We introduce the fuzzy smile (or fuzzy skew) as a visual illustration of the skew distribution.

研究の動機と目的

• オプション市場データが希少でノイジーな状況において、市場が暗黙的に反映する確率分布を推定する課題に対処すること。
• ボラティリティスケューの単一の点推定にとどまらず、スケューのパラメータにおける不確実性を確率分布としてモデル化すること。
• 一連の妥当なスケューとその関連確率を表す可視的かつ計算的フレームワークである'曇りスマイル'を構築すること。
• ベイジアン推論と暗黙の確率の形式的定式化を組み合わせ、将来の資産分布に関する市場の信念をより頑健で不確実性を考慮した推定にすること。
• パrameterの不確実性を組み込むことで、標準的な決定論的スケュー適合法に比べ、より信頼性の高い確率分布が得られることを示すこと。

提案手法

• ボラティリティスケューを二次関数でパラメトリックにモデル化する：σ = a + b(x−1) + c(x−1)²、ここでaはATMボラティリティ、bは勾配、cは曲率を表す。
• ベイズの定理を用いて事後分布P(M|DI) ∝ P(D|M I)P(M|I)を計算する。ここでMはスケューのモデルパラメータを表し、Dは観測された市場データを表す。
• スケューのパラメータに関する事前信念を保守的とするために、非情報的（一様）事前分布P(M|I)を仮定する。
• ノイジーなデータ下でも頑健な推定が可能となるように、スケールパラメータを有する多変量正規分布を用いて尤度P(D|M I)をモデル化する。
• 数値積分を用いて、パラメータのペア（例：aとb、またはbとc）の周辺事後分布を計算し、2次元確率密度プロットとして可視化する。
• '曇りスマイル'を、各ストライクにおけるあるインプライドボラティリティが実現する確率を色の濃さで表す、スケューの集合の視覚的表現として構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インプライドボラティリティスメールの勾配が、市場が暗黙的に反映する確率分布の形状にどのように影響を与えるか。また、この影響が一見直感的でないのはなぜか。
• RQ2 市場データが希少またはノイジーな状況下で、ベイジアン推論を用いてボラティリティスケューの不確実性をどのように定量化できるか。
• RQ3 スケューを単一の最良適合曲線ではなく、可能なパラメータ値の分布としてモデル化することで、得られるインプライド確率分布にどのような影響が生じるか。
• RQ4 '曇りスマイル'可視化は、異なるストライク価格におけるインプライドボラティリティの不確実性を効果的にどのように伝えることができるか。
• RQ5 パrameterの不確実性を組み込むことで、決定論的フィッティング手法に比べ、市場が暗黙的に反映する確率推定の頑健性がどの程度向上するか。

主な発見

• スケューの勾配は、インプライド確率に非単調な効果をもたらす：負の勾配は、大きな下落の確率を低下させるが、アウトオブザマネー・プットの価格を上昇させ、より高いテールリスクが反映されていることを示唆する。
• ベイジアンアプローチにより、スケューのパラメータ（例：aとb、またはbとc）の多変量事後分布が成功裏に得られ、推定されたスケューにおける相関関係と不確実性が明らかになった。
• '曇りスマイル'可視化は、インプライドボラティリティにおける高い信頼性と低い信頼性の領域を効果的に伝えることができ、色が濃い領域は特定のストライクにおける高い確率を示している。
• スケューの集合を平均化して得られる最良推定の市場が暗黙的に反映する確率分布は、単一の最良適合スケューから得られる分布よりも、より頑健でアーチファクトに左右されにくい形状を示している。
• 本手法は、二次関数を超える他のパラメトリックスケュー・モデルに対しても一般化可能であるが、多項式モデルはパラメータ推定に線形回帰を用いることで計算上の利点を提供する。
• 保守的な非情報的事前分布を用いても、ベイジアンフレームワークはデータの希少性下で推定の安定性を著しく向上させ、ノイズの強い観測への過剰適合を低減した。