[論文レビュー] Markov branching processes with disasters: extinction, survival and duality to p-jump processes

Felix Hermann, Peter Pfaffelhuber|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、二項破壊を伴うマルコフ的分岐過程とpジャンプ過程（[0,1]上での乗法的ジャンプを伴う非定常マルコフ過程）の間に双対性を確立する。この双対性とpジャンプ過程の極限定理を用いて、破壊を伴う時定常および時不変分岐過程における絶滅・生存確率の正確な漸近的表現を導出し、崩壊率の段階的転移および確実な絶滅または生存の条件を明らかにする。

ABSTRACT

A $p$-jump process is a piecewise deterministic Markov process with jumps by a factor of $p$. We prove a limit theorem for such processes on the unit interval. Via duality with respect to probability generating functions, we deduce limiting results for the survival probabilities of time-homogeneous branching processes with arbitrary offspring distributions, underlying binomial disasters. Extending this method, we obtain corresponding results for time-inhomogeneous birth-death processes underlying time-dependent binomial disasters and continuous state branching processes with $p$-jumps.

研究の動機と目的

• 破壊後に個体が確率pで生存するという条件の下、時定常のマルコフ的分岐過程の長期的挙動を分析すること。
• 時間不変のレートと連続状態分岐過程を組み込んだ既存の絶滅・生存確率に関する結果を拡張すること。
• 確率母関数を用いた双対性フレームワークを構築し、pジャンプ過程の性質を分岐過程の結果に翻訳すること。
• 一般の産 offspring 動作および破壊ダイナミクスの下で、生存および絶滅確率の精密な漸近的表現を導出すること。
• 分岐、破壊、生存パラメータの相互作用に基づく、生存確率の崩壊率における段階的転移を特徴づけること。

提案手法

• pジャンプ過程を[0,1]上での非定常マルコフ過程として導入し、破壊時刻に因子pでジャンプする。
• 確率母関数を用いて分岐過程とpジャンプ過程の間の双対性を確立し、分岐過程の母関数と確率的微分方程式の解を結びつける。
• 双対過程の重要なSDEを導出する：$ \dot{X} = -\lambda(X - h(X)) $ に、破壊レート $ \kappa $ における因子pのジャンプを追加する形に修正する。
• デムボとツァイウンイ（1998年）のポアソン過程の大偏差理論を用いて、累積ジャンプ強度および生存確率の尾部挙動を分析する。
• ジャンプレートおよび分岐強度に凸性および成長条件を課した下で、pジャンプ過程の極限定理を適用する。
• 双対関係 $ \mathbb{E}[x^{Z_t} \mid Z_0 = z] = X_t^z $ を用いて、$ X_t $ の収束を $ Z_t $ の絶滅／生存確率に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時定常の分岐過程に二項破壊を伴い、任意の産 offspring 分布を持つ場合、生存確率の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ2 時間不変の分岐および破壊レートが、集団の長期的生存または絶滅にどのように影響を与えるか？
• RQ3 破壊を伴う分岐過程において、確実な絶滅または非絶滅が生じる条件は何か？ また、生存確率の崩壊率はどのように変化するか？
• RQ4 pジャンプ過程と分岐過程の双対性は、破壊を伴う連続状態分岐過程へ拡張可能か？
• RQ5 破壊時刻の履歴条件下での生存確率の収束速度は、どのように正確に特定できるか？

主な発見

• 時定常の破壊を伴う分岐過程では、生存確率は指数関数的に減少し、その崩壊率は分岐、破壊、生存パラメータのバランスに応じて段階的転移を示す。
• 積分 $ \int_0^t \log(1/p_s) \kappa_s \, ds $ が分岐レートよりも速く増加する場合、絶滅は確実に起こる。それ以外の場合は、正の確率で生存が生じる。
• 時不変の場合、破壊時刻の履歴条件下での生存確率は、双対pジャンプ過程によって定まる極限に収束し、収束速度は $ \log \mathbb{P}(Z_t > 0 \mid \mathcal{D}_\infty) \sim \max\{ -L_t, \log \int_0^t e^{-L_s} b_s \, ds \} / h(t) $ で表現可能である。
• 累積ドリフト $ \ell(t) = \int_0^t (b_s - d_s - \kappa_s \log(1/p_s)) \, ds $ が定数に収束する場合、過程は確実に有限回の出産しか行わず、非退化の極限分布に収束する。
• 連続状態分岐過程に破壊を伴う場合、絶滅確率は同一の双対性により特徴づけられ、極限挙動は双対過程の漸近的成長に依存する。
• 積分 $ \int_0^t e^{-L_s} b_s \, ds $ が発散する場合、生存確率は指数的減衰よりも遅く減少するが、積分が収束する場合には、より速い減衰または確率1での絶滅が生じる。