[論文レビュー] Markov chain Monte Carlo test of toric homogeneous Markov chains

Akimichi Takemura, Hisayuki Hara|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2010

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、標準的同型マルコフ連鎖の包あらわしである、ねじれ同型マルコフ連鎖（THMC）の条件付き適合度検定のためのマルコフ基底を開発する。任意の長さの2状態連鎖および任意の有限状態空間をもつ3時刻連鎖の完全なマルコフ基底を提供し、MCMCを用いた正確な条件付き推論を可能にする。数値例では、漸近的近似が不十分であるため、同型性が棄却された。

ABSTRACT

Markov chain models are used in various fields, such behavioral sciences or econometrics. Although the goodness of fit of the model is usually assessed by large sample approximation, it is desirable to use conditional tests if the sample size is not large. We study Markov bases for performing conditional tests of the toric homogeneous Markov chain model, which is the envelope exponential family for the usual homogeneous Markov chain model. We give a complete description of a Markov basis for the following cases: i) two-state, arbitrary length, ii) arbitrary finite state space and length of three. The general case remains to be a conjecture. We also present a numerical example of conditional tests based on our Markov basis.

研究の動機と目的

• 標準的同型マルコフ連鎖の包あらわしであるねじれ同型マルコフ連鎖（THMC）モデルの正確な条件付き検定を開発すること。
• 小標本設定におけるマルコフ連鎖モデルの検定で、大標本カイ二乗近似の限界を是正すること。
• 通常の同型マルコフ連鎖モデルが曲がった指数型分布族である場合に、THMCモデルの完全なマルコフ基底を導出すること。
• 導出されたマルコフ基底を用いて、マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）による正確な推論を可能にすること。
• 一般の S および T に対するマルコフ基底の構造的性質を調査し、エッジ符号パターングラフにおける拡張単純ループに関する予想を提示すること。

提案手法

• 自由パrameter γi および βij を用いたTHMCモデルを、全確率の正規化のみを許容する包あらわし指数型分布族として構築する。
• マルコフ基底の手法（DiaconisおよびSturmfels）を用い、帰無仮説の同型性のもとで十分統計量を保存する移動を導出する。
• TakemuraおよびAokiの距離削減論法を用い、S=2 および T≥3 の場合にマルコフ基底の完全性を証明する。
• S=3、T=5 などの小規模なケースにおいて、計算的検証をコンピュータ代数システム（4ti2）を用いて行う。
• エッジ符号パターングラフにおける「拡張単純ループ」を定義・分析し、マルコフ基底の一般構造に関する予想を立てる。
• 導出されたマルコフ基底を用いてMCMCサンプリングを行い、ピアソンのカイ二乗統計量などの検定統計量の正確p値を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態空間が2状態で任意の長さであるとき、ねじれ同型マルコフ連鎖モデルの完全なマルコフ基底は何か？
• RQ2 連鎖が3時刻で任意の有限状態空間をもつとき、THMCモデルの完全なマルコフ基底は何か？
• RQ3 漸近的近似が信頼できない場合、MCMCを用いてTHMCモデルの正確な条件付き検定をどのように行えるか？
• RQ4 一般の S および T に対するマルコフ基底の構造的性質は何か？また、エッジ符号パターングラフにおける拡張単純ループによって記述可能か？
• RQ5 与えられた S に対して、マルコフ基底内のすべての移動を生成するために必要な拡張単純ループの数に一様な上限が存在するか？

主な発見

• 任意の長さ T≥3 の2状態ねじれ同型マルコフ連鎖に対して、単純ループに基づく完全なマルコフ基底が導出された。
• 任意の有限状態空間 S をもつ3時刻連鎖に対して、最大3つの拡張単純ループを含む移動を用いた完全なマルコフ基底が導出された。
• マリファナ使用データに対するMCMCベースの正確検定では、正確p値が0.0184に得られ、漸近的p値0.0212よりわずかに低く、THMCモデルが棄却された。
• 細胞度数が低いため、データに対して漸近的カイ二乗近似が不適切であることが判明し、正確法の必要性が強調された。
• 著者らは、各 S に対して、すべての移動が高々 kS 個の拡張単純ループの和であるような上限 kS が存在すると予想する。kS=S は強い候補である。
• S=2 の場合、マルコフ基底の移動は高々2つの拡張単純ループの和である。S=3、T=4 の場合、移動は最大3つのループを含む。