[論文レビュー] Markov convexity and nonembeddability of the Heisenberg group

Sean Li|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2014

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連続的無限次元ヒルベルト群 $\bbH_\f$ がマーコフ 4-凸であり、任意の $p<4$ に対してマーコフ $p$-凸でないことを確立し、ヒルベルト群がユークリッド空間へに双リプシッツ埋め込み可能でないことを新たなメトリック的証明で示している。主な結果は、Laakso グラフ $G_n$ を $\bbH_\f$ に明示的に埋め込むことで得られ、その歪みは $O(n^{1/4}\rsqrt{\rlog n})$ である。これにより、離散的ヒルベルト群の球がマーコフ $p$-凸空間へ埋め込まれる際の歪みの定量的下界が得られる。

ABSTRACT

We compute the Markov convexity invariant of the continuous infinite dimensional Heisenberg group $\mathbb{H}_\infty$ to show that it is Markov 4-convex and cannot be Markov $p$-convex for any $p &lt; 4$. As Markov convexity is a biLipschitz invariant and Hilbert space is Markov 2-convex, this gives a different proof of the classical theorem of Pansu and Semmes that the Heisenberg group does not admit a biLipschitz embedding into any Euclidean space. The Markov convexity lower bound will follow from exhibiting an explicit embedding of Laakso graphs $G_n$ into $\mathbb{H}_\infty$ that has distortion at most $C n^{1/4} \sqrt{\log n}$. We use this to show that if $X$ is a Markov $p$-convex metric space, then balls of the discrete Heisenberg group $\mathbb{H}(\mathbb{Z})$ of radius $n$ embed into $X$ with distortion at least some constant multiple of $$\frac{(\log n)^{\frac{1}{p}-\frac{1}{4}}}{\sqrt{\log \log n}}.$$ Finally, we show that Markov 4-convexity does not give the optimal distortion for embeddings of binary trees $B_m$ into $\mathbb{H}_\infty$ by showing that the distortion is on the order of $\sqrt{\log m}$.

研究の動機と目的

• 連続的無限次元ヒルベルト群 $\bbH_\f$ のマーコフ 4-凸性を確立すること。
• 3次元ヒルベルト群 $\bbH_1$（そしてそれゆえ $\bbH_\f$）が、任意の $p<4$ に対してマーコフ $p$-凸でないことを示すこと。
• マーコフ凸性を用いて、ヒルベルト群がユークリッド空間へ双リプシッツ埋め込み可能でないという古典的結果の新たなメトリック的証明を与えること。
• 離散的ヒルベルト群の球がマーコフ $p$-凸メトリック空間へ埋め込まれる際の双リプシッツ歪みの定量的下界を導出すること。
• マーコフ 4-凸性が、二分木が $\bbH_\f$ へ埋め込まれる際の最適歪み上限を与えるか否かを調査すること。

提案手法

• Laakso グラフ $G_n$ を $\bbH_\f$ へ歪みが $Cn^{1/4}\rsqrt{\rlog n}$ 以下であるような明示的な双リプシッツ埋め込みを構成すること。
• Laakso グラフの埋め込み歪みを用いて、$\bbH_\f$ のマーコフ $p$-凸性定数の下界を導出すること。
• マーコフ凸性の理論と双リプシッツ写像による不変性を応用し、$\bbH_\f$ の幾何とユークリッド空間の幾何を関連付けること。
• 二分木の部分木における色分けの議論を用いて、歪みが制御された $\rho$-フォーク構成を同定すること。
• 補題 3.10 を適用して、写像による像点の中心座標を制御し、低歪みを仮定した場合に矛盾を導くこと。
• 写像の非収縮性とヒルベルト群のカルノー＝カラテオドリ距離の構造を用いて、距離推定において矛盾を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的無限次元ヒルベルト群 $\bbH_\f$ はマーコフ 4-凸か？
• RQ2 $\bbH_1$ が任意の $p<4$ に対してマーコフ $p$-凸になれるか？
• RQ3 マーコフ 4-凸性が、二分木 $B_m$ が $\bbH_\f$ へ埋め込まれる際の最適歪み上限を与えるか？
• RQ4 離散的ヒルベルト群の球がマーコフ $p$-凸メトリック空間へ埋め込まれる際の双リプシッツ歪みの定量的下界は何か？
• RQ5 マーコフ凸性を用いて、ヒルベルト群がユークリッド空間へ埋め込めないことを再証明できるか？

主な発見

• 連続的無限次元ヒルベルト群 $\bbH_\f$ はマーコフ 4-凸である。
• $\bbH_1$（そしてそれゆえ $\bbH_\f$）は、任意の $p<4$ に対してマーコフ $p$-凸でない。これは、マーコフ 4-凸性が鋭いことを示している。
• Laakso グラフ $G_n$ を $\bbH_\f$ へ埋め込む明示的構成があり、その歪みはある絶対定数 $C>0$ を用いて $Cn^{1/4}\rsqrt{\rlog n}$ 以下である。
• この埋め込みにより、離散的ヒルベルト群の球がマーコフ $p$-凸メトリック空間へ埋め込まれる際の双リプシッツ歪みの定量的下界が得られる。
• マーコフ 4-凸性は、二分木 $B_m$ が $\bbH_\f$ へ埋め込まれる際の最適歪み上限を与えない。実際の歪みは $\rsqrt{\rlog m}$ のオーダーである。
• 低歪み非収縮写像が二分木から $\bbH_\f$ へ存在すると仮定した場合、$\rho$-フォーク構成と補題 3.10 を用いた中心座標の制御により矛盾を導くことができる。