[論文レビュー] Markov equivalence classes for maximal ancestral graphs

R. Ayesha Ali, Thomas S. Richardson|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2002

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、最大逐次的グラフのマルコフ同値クラスを一意に表現するための結合演算を導入し、効率的なモデル探索を可能にする。分離基準を拡張し、結合グラフにおける対ごとのマルコフ性を証明することで、グローバルマーティン性の基礎を築き、古典的なDAGの結果を潜在変数および選択変数を含む逐次的グラフへと拡張する。

ABSTRACT

Ancestral graphs provide a class of graphs that can encode conditional independence relations that arise in directed acyclic graph (DAG) models with latent and selection variables, corresponding to marginalization and conditioning. However, for any ancestral graph, there may be several other graphs to which it is Markov equivalent. We introduce a simple representation of a Markov equivalence class of ancestral graphs, thereby facilitating the model search process for some given data. More specifically, we define a join operation on ancestral graphs which will associate a unique graph with an equivalence class. We also extend the separation criterion for ancestral graphs (which is an extension of d-separation) and provide a proof of the pairwise Markov property for joined ancestral graphs. Proving the pairwise Markov property is the first step towards developing a global Markov property for these graphs. The ultimate goal of this work is to obtain a full characterization of the structure of Markov equivalence classes for maximal ancestral graphs, thereby extending analogous results for DAGs given by Frydenberg (1990), Verma and Pearl (1991), Chickering (1995) and Andersson et al. (1997).

研究の動機と目的

• 潜在変数および選択変数が存在する状況において、複数の逐次的グラフがマルコフ同値であるという課題に対処すること。
• DAG理論で用いられるエッセンシャルDAGと類似する、最大逐次的グラフのマルコフ同値クラスの標準的表現を構築すること。
• 逐次的グラフの分離基準を拡張し、結合グラフにおける対ごとのマルコフ性を証明することで、グローバルマーティン性への一歩を踏み出すこと。
• Frydenberg, Verma & Pearl, Chickering, Anderssonらの研究を含む、DAGにおけるマルコフ同値に関する既存の結果を、潜在変数および選択変数を含む逐次的グラフへと一般化すること。

提案手法

• 同じマルコフ同値クラスに属する複数のグラフからエッジを統合することで、一意な代表的グラフを生成する、逐次的グラフ上の結合演算を導入する。
• d分離に類似した、逐次的グラフの分離基準（潜在変数および選択変数が存在する状況での条件付き確率と周辺化を扱えるように）を拡張する。
• 結合された逐次的グラフにおける対ごとのマーティン性を定義し、結合演算によって条件付きインデペンデンス関係が保存されることを証明する。
• 結合演算を用いて、各マルコフ同値クラスに対する標準的グラフを構築し、一意性を保証するとともに、モデル探索を容易にする。
• 対ごとのマーティン性の証明により、グローバルマーティン性の理論的基盤を確立し、完全なグローバル特徴付けへの必須な前段階を提供する。
• 最大逐次的グラフの構造的性質を活用し、結合演算が本質的な条件付きインデペンデンス構造を保存することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 潜在変数および選択変数が存在する状況において、最大逐次的グラフのマルコフ同値クラスを一意に表現する方法は何か？ これにより、モデル探索が簡素化される。
• RQ2 周辺化と条件付き確率を考慮した場合に適切な、逐次的グラフにおけるd分離基準の拡張は何か？
• RQ3 逐次的グラフにおける結合演算が、対ごとのマーティン性を保持するか？ これにより、条件付きインデペンデンス関係が維持されるか？
• RQ4 結合された逐次的グラフにおける対ごとのマーティン性を厳密に証明できるか？ これにより、グローバルマーティン性の開発が可能になるか？
• RQ5 逐次的グラフの構造的性質は、DAGにおけるものと類似したマルコフ同値クラスの特徴付けを可能にするか？

主な発見

• 提案された結合演算により、各マルコフ同値クラスに対して一意な逐次的グラフの代表が得られ、標準的表現が可能になる。
• 逐次的グラフの分離基準が、条件付き確率と周辺化を組み込む形で成功裏に拡張され、d分離の一般化が達成された。
• 結合された逐次的グラフにおいて、対ごとのマーティン性が成立し、結合演算によって条件付きインデペンデンス関係が保存されることを確認した。
• 対ごとのマーティン性の証明は、逐次的グラフにおけるグローバルマーティン性の開発に不可欠な基盤を提供する。
• 本フレームワークにより、Frydenberg, Verma & Pearl, Chickering, Anderssonらの研究を含む、DAGにおけるマルコフ同値に関する古典的結果が、最大逐次的グラフへと一般化された。
• 結合演算による標準的表現により、潜在変数および選択変数を含むデータにおけるマルコフ同値モデルの探索が簡素化された。