[論文レビュー] Markov Logic in Infinite Domains

Parag Singla, Pedro Domingos|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2012

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 25被引用数 50

ひとこと要約

この論文は、マーカフロジックネットワーク（MLNs）を無限のドメインに拡張するために、ギブス測度理論に基づいてそのグランド化を実施し、各グランドアトムが有限個の近隣を持つ場合、MLNsが有効なギブス測度を備えることを示している。主な貢献は、重みが有界である条件下で、このような測度の存在と一意性を証明することであり、論理的表現力と確率的整合性を保ちながら、無限の1階論理構造における確率的推論を可能にする。

ABSTRACT

Combining first-order logic and probability has long been a goal of AI. Markov logic (Richardson & Domingos, 2006) accomplishes this by attaching weights to first-order formulas and viewing them as templates for features of Markov networks. Unfortunately, it does not have the full power of first-order logic, because it is only defined for finite domains. This paper extends Markov logic to infinite domains, by casting it in the framework of Gibbs measures (Georgii, 1988). We show that a Markov logic network (MLN) admits a Gibbs measure as long as each ground atom has a finite number of neighbors. Many interesting cases fall in this category. We also show that an MLN admits a unique measure if the weights of its non-unit clauses are small enough. We then examine the structure of the set of consistent measures in the non-unique case. Many important phenomena, including systems with phase transitions, are represented by MLNs with non-unique measures. We relate the problem of satisfiability in first-order logic to the properties of MLN measures, and discuss how Markov logic relates to previous infinite models.

研究の動機と目的

• マーカフロジックネットワーク（MLNs）の有限ドメインにおける制限を克服し、それらを無限のドメインに拡張すること。
• 統計力学の原則を用いて、無限の1階論理的構造における確率的推論の理論的基盤を確立すること。
• MLNsが無限の設定において有効なギブス測度を備えるための条件を調査すること。
• 一意性が成り立たない場合の整合性のある測度の構造を分析し、特に相転移を示す系において考察すること。
• 1階論理の充足可能性と、無限ドメインにおけるMLN測度の性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• 統計力学におけるギブス測度の枠組みを用いて、無限のドメインを扱うマーカフロジックを定式化すること。
• 各グランドアトムの近隣集合が有限であることに基づいて、MLNに対するギブス測度の存在を定義すること。
• 非ユニット節の重みが十分に小さい場合、MLNが一意なギブス測度を備えることを証明すること。
• ドブシュチンの一意性基準を用いて、測度の一意性のための条件を確立すること。
• 一意でない場合の整合性のある測度の集合を分析し、特に相転移を示す系において考察すること。
• 1階論理における論理的充足可能性と、無限ドメインにおけるMLN測度の存在および性質との関係を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マーカフロジックネットワークは、どのような条件下で無限ドメインにおいてギブス測度を備えるか？
• RQ2 MLNのギブス測度は、どのような条件下で無限ドメインにおいて一意的か？
• RQ3 統計力学における相転移は、無限MLNsにおける整合性のある測度の構造とどのように関係するか？
• RQ4 1階論理の充足可能性と、無限MLNsにおける一貫性のある測度の存在との間にはどのような関係があるか？
• RQ5 ギブス測度の枠組みは、マーカフロジックの無限の1階論理的構造への適用範囲をどのように拡張するか？

主な発見

• 各グランドアトムが有限個の近隣を持つ場合、MLNはギブス測度を備える。これは、多くの実用的および理論的に興味深い状況で成立する。
• すべての非ユニット節の重みが十分に小さい場合、MLNは一意なギブス測度を備え、安定した確率的推論を保証する。
• 測度が一意でない場合、整合性のある測度の集合は、相転移を示す複雑な構造を示す可能性がある。
• この枠組みにより、論理的表現力と確率的整合性を保ちながら、無限の1階論理ドメインにおける確率的推論が可能になる。
• 本論文は、1階論理の充足可能性と、無限MLNsにおける一貫性のある測度の存在との間の正式な関係を確立し、マーカフロジックの理論的基盤を強化した。