[論文レビュー] Markov loops, complex free field and Eulerian circuits

Yves Le Jan|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポisson型ループ集合、複素および実ガウス自由場、およびグラフ上のオイラー的ネットワークの間の深い関係を確立する。ループ集合の局所時間場と同型定理を活用することで、強度 1/2 のポisson型ループ集合の局所時間分布が、ガウス自由場の二乗分布と一致することを証明し、一般化された第二レイ・ナイト定理の確率論的証明と、ループ測度を用いたオイラー閉路に関するBEST定理の新規導出を可能にする。

ABSTRACT

We study the complex free field associated with a symmetric Markov chain. Applications are given to loop ensembles, second Ray Knight theorem and random Eulerian circuits.

研究の動機と目的

• ポisson型ループ集合の局所時間場とガウス自由場の二乗との間の確率論的同型を確立すること。
• ループ集合の技法を用いて、一般化された第二レイ・ナイト定理の新たな確率論的証明を提供すること。
• ポisson型ループ集合における非自明なループの測度を用いて、オイラー閉路に関するBEST定理を導出すること。
• 行列式の公式を用いて、ループ測度をホモロジーおよびグラフのジャコビアントーラスと結びつけること。
• ランダムなオイラー的ネットワークの統計的性質と、それに伴う透過性およびマコフ生成子との関係を調査すること。

提案手法

• 強度 $\alpha\mu$ のポisson型ループ集合の局所時間場 $\hat{\mathcal{L}}_{\alpha}$ を、各頂点におけるループが費やす局所時間をモデル化するために用いる。
• 同型定理を適用し、$\hat{\mathcal{L}}_{1/2}$ と $\frac{1}{2}\varphi_{\mathbb{R}}^2$ が同じ分布を持つことを示す。ここで $\varphi_{\mathbb{R}}$ は実ガウス自由場を表す。
• ループを消去したランダムなスパニングツリーのためのウィルソンのアルゴリズムを用いて、ループ集合を構築し、局所時間のポisson-Dirichlet分解を用いる。
• オイラー的ネットワーク $k$ の測度を $\mu(k) = \tau(\tilde{k}) \prod_{x}(k_{x}-1)! \prod_{x,y} \frac{P_{x,y}^{k_{x,y}}}{k_{x,y}!}$ として導出する。ここで $\tau(\tilde{k})$ は行列木定理を用いて有向グラフ $\tilde{k}$ の有路数を数える。
• 行列式の公式 $\det(M_{\chi}-C)\text{Per}(G)$ を用いて、$\det(M_{\chi}D_N - N)$ の期待値をグリーン関数とコンダクタンスの項で表現する。
• ループ測度 $\mu$ とディリクレ形式 $\mathcal{E}$ の双対性に依拠し、コンダクタンス $C_{x,y}$ とキリング測度 $\kappa$ が定義するマコフ過程に基づく基礎を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポisson型ループ集合の局所時間場は、ガウス自由場の二乗とどのように関係するか？
• RQ2 一般化された第二レイ・ナイト定理は、ループ集合のダイナミクスから導出可能か？
• RQ3 ポisson型ループ集合によって誘導されるオイラー的ネットワークの測度は何か？ そしてBEST定理とどのように関係するか？
• RQ4 ジャコビアントーラスは、ループ測度とコンダクタンスを用いてどのように表現できるか？
• RQ5 ループクラスタの透過性特性は、頂点の部分集合間の最大フローとどのように関係するか？

主な発見

• 強度 $\mu/2$ のポisson型ループ集合の局所時間場 $\hat{\mathcal{L}}_{1/2}$ は、実ガウス自由場 $\varphi_{\mathbb{R}}$ の二乗 $\frac{1}{2}\varphi_{\mathbb{R}}^2$ と同じ分布を持つ。
• この同型は、境界頂点における局所時間場の分解を用いて、一般化された第二レイ・ナイト定理の確率論的証明を提供する。
• 非ゼロのオイラー的ネットワーク $k$ の測度は $\mu(k) = \tau(\tilde{k}) \prod_{x}(k_{x}-1)! \prod_{x,y} \frac{P_{x,y}^{k_{x,y}}}{k_{x,y}!}$ で与えられ、ここで $\tau(\tilde{k})$ は有向グラフ $\tilde{k}$ の有路数を表す。
• 非自明なネットワークの総 $\mu$-測度は $-\log(\det(I - P))$ に一致し、これはループ測度の正規化と整合する。
• 行列式の恒等式 $E[\det(M_{\chi}D_N - N)] = \det(M_{\chi}-C)\text{Per}(G)$ が成り立ち、ループ集合と行列式のパーマネントおよびグリーン関数を結びつける。
• ジャコビアントーラスの体積 $|\mathrm{Jac}(\mathcal{G})|$ は $1/\sqrt{\det(\Lambda) \prod_{e\in E} C_e}$ に等しく、ここで $\Lambda$ はホモロジー基底の交差行列を表す。