[論文レビュー] Markov partition and Thermodynamic Formalism for Hyperbolic Systems with Singularities

Jianyu Chen, Fang Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特異点を有する2次元の双曲的系に対して、双曲的積集合と誘導スキームを用いて、可算なマルコフ分割を構築し、相関の指数的減衰、中心極限定理、幾何的ポテンシャルに対する完全な熱力学的形式主義を確立する。主な貢献は、特異点による位相空間の断片化にもかかわらず、高度な統計的性質を保証する厳密なマルコフタワー構造の確立にある。

ABSTRACT

For 2-d hyperbolic systems with singularities, statistical properties are rather difficult to establish because of the fragmentation of the phase space by singular curves. In this paper, we construct a Markov partition of the phase space with countable states for a general class of hyperbolic systems with singularities. Stochastic properties with respect to the SRB measure immediately follow from our construction of the Markov partition, including the decay rates of correlations and the central limit theorem. We further establish the thermodynamic formalism for the family of geometric potentials, by using the inducing scheme of hyperbolic type. All the results apply to Sinai dispersing billiards, and their small perturbations due to external forces and nonelastic reflections with kicks and slips.

研究の動機と目的

• 特異曲線による位相空間の断片化という課題を克服すること。
• 標準的仮定 (H1)–(H5) の下で、一様双曲的系に対して可算個の状態を有するマルコフ分割を確立すること。
• 構築されたマルコフタワーを用いて、相関の減衰や中心極限定理を含む高度な統計的性質を導出すること。
• 双曲的タイプの誘導スキームを用いて、幾何的ポテンシャルへの熱力学的形式主義を拡張すること。
• サイン・ビリヤードおよびその摂動（外部力や非弾性反射を含む）への応用を示すこと。

提案手法

• 標準ペアと標準族を用いて、$\mathcal{R}^*$ と表記される双曲的積集合を構築し、マルコフタワーの基盤とする。
• 「磁石」と呼ばれる特別な双曲的積集合上でカップリング補題を適用し、帰還時間の制御とマルコフ構造の確保を行う。
• $\mathcal{R}^*$ 上の誘導スキームを用いて、系を可算な両側マルコフシフトとしてモデル化し、熱力学的形式主義を可能にする。
• 不安定な多様体に沿ったヤコビアンの成長を制御するための適応ノルム $\|\cdot\|_*$ を用い、一様な拡張性と歪度制御を保証する。
• $\mathcal{R}^*$ への帰還時間の指数的尾部バウンドを確立し、これが直接的に相関の指数的減衰を示す。
• 誘導スキームにおける条件 (P*) の検証により、幾何的ポテンシャルのための熱力学的形式主義を構築し、圧力と平衡状態の解析を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点を有する一様双曲的系において、位相空間の断片化にもかかわらず、可算個の状態を有するマルコフ分割を構築できるか？
• RQ2 このようなマルコフ分割の存在が、有界で部分的ホルダー連続な観測量に対して、相関の指数的減衰および中心極限定理を示唆するか？
• RQ3 誘導スキームを用いて、特異点を有する系において幾何的ポテンシャルへの熱力学的形式主義を拡張できるか？
• RQ4 外部力や非弾性反射を含むローレンツガスモデルの摂動に対しても、統計的性質が保持されるか？
• RQ5 基底集合 $\mathcal{R}^*$ への帰還時間が指数分布的であるか？ これにより強力な確率的極限定理が得られるか？

主な発見

• 双曲的積集合 $\mathcal{R}^*$ を用いた可算マルコフ分割が構築され、最初の帰還写像がマルコフ的であり、帰還時間の指数的尾部バウンドが保証される。
• 有界で部分的ホルダー連続な観測量に対して、相関の指数的減衰が確立され、減衰率は帰還時間分布の指数的尾部によって決定される。
• 指数的尾部バウンドとマルコフタワー構造のおかげで、有界で部分的ホルダー連続な観測量に対して中心極限定理が成立する。
• マルコフタワーとカップリング法の結果として、ほとんど確実な不変性原理とほとんど確実な極限定理が証明される。
• 局所中心極限定理が系に対して確立され、古典的な極限定理が特異な設定に拡張される。
• 誘導スキームを用いて幾何的ポテンシャルのための熱力学的形式主義が完全に発展され、圧力と平衡状態解析のための条件 (P*) が検証される。