[論文レビュー] Markov property of Lagrangian turbulence

André Fuchs, Martín Obligado+4 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2021

Particle Dynamics in Fluid Flows被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、慣性粒子のラグランジュ的乱流が、ストークス数に依存するアインシュタイン＝マコフ自己相関時間より大きな有限時間スケールにおいて、初めてマコフ性を示す証拠を提示する。均一かつ等方的乱流の直接数値シミュレーション（DNS）を用いて、著者らは粒子の速度増分がマコフ過程に従うことを示し、マルチスケール統計のフォッカー＝プランク記述を可能にするとともに、粒子の軌道と確率的熱力学的エントロピー交換を結びつける積分および詳細なフラクチュアーション定理の妥当性を検証する。

ABSTRACT

Based on direct numerical simulations with point-like inertial particles, with Stokes numbers, $ extrm{St}=0, 0.5$, $3$, and $6$, transported by homogeneous and isotropic turbulent flows, we present in this letter for the first time evidence for the existence of Markov property in Lagrangian turbulence. We show that the Markov property is valid for a finite step size larger than a Stokes number-dependent Einstein-Markov coherence time scale. This enables the description of multi-scale statistics of Lagrangian particles by Fokker-Planck equations, which can be embedded in an interdisciplinary approach linking the statistical description of turbulence with fluctuation theorems of non-equilibrium stochastic thermodynamics and local flow structures. The formalism allows estimation of the stochastic thermodynamics entropy exchange associated with the particles' Lagrangian trajectories. Entropy consuming trajectories of the particles are related to specific evolution of velocity increments through scales and may be seen as intermittent structures. Statistical features of Lagrangian paths and entropy values are thus fixed by the fluctuation theorems.

研究の動機と目的

• 均一かつ等方的乱流（HIT）における慣性粒子の力学的挙動が、ラグランジュフレームでマコフ性を示すかどうかを調査すること。
• ストークス数に依存する有限時間スケールが存在し、その上ではマコフ性が成立することを特定すること。
• 粒子軌道のマコフ的記述と非平衡統計力学（特にフラクチュアーション定理）との間の関係を確立すること。
• 個々の粒子軌道に沿った確率的熱力学的エントロピー交換を推定するためのフレームワークを提供すること。
• このマコフ的構造が、乱流におけるスケーリングの非定常性および非平衡的挙動を理解する上で与えるインパクトを検討すること。

提案手法

• ストークス数 St = 0, 0.5, 3, 6 の範囲で、点状の慣性粒子を含む三次元均一・等方的乱流の擬スペクトル的直接数値シミュレーション（DNS）を実施する。
• ラグランジュ粒子軌道を追跡し、時間スケール τ における速度増分 ur を計算し、条件付き平均を用いてマコフ性を評価する。
• Friedrich-Preinke アプローチを適用し、ur のスケール r における確率的力学を、スケールに従って進化するマコフ過程として扱う。
• シミュレーションデータから、フォッカー＝プランク形式を仮定して、ドリフト係数 D(1)(ur, r) と拡散係数 D(2)(ur, r) を経験的に推定する：−∂rur = D(1)(ur, r) + [D(2)(ur, r)]^{1/2}Γ(r)。
• 個々の粒子軌道に沿ったエントロピー生成の統計を分析することで、積分および詳細なフラクチュアーション定理（IFT および DFT）の妥当性を検証する。
• フォッカー＝プランク形式に基づいてエントロピー生成率を定義し、スケール間での速度増分の進化と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均一かつ等方的乱流における慣性粒子のラグランジュ的力学的挙動は、有限時間スケールにおいてマコフ性を満たすか？
• RQ2 マコフ化スケール時間はストークス数にどのように依存するか？
• RQ3 フォッカー＝プランク方程式は、ラグランジュ的乱流における粒子速度増分のマルチスケール統計を正確に記述できるか？
• RQ4 非平衡的かつ非定常的挙動を示す乱流中での慣性粒子軌道が、積分および詳細なフラクチュアーション定理を満たすか？
• RQ5 粒子軌道におけるエントロピー生成は、スケール間での速度増分の進化とどのように関連するか？

主な発見

• マコフ性は、ストークス数に依存するアインシュタイン＝マコフ自己相関時間より大きな時間スケールにおいて、ラグランジュ粒子力学に成立し、特に慣性の大きい粒子で顕著である。
• スケール r における速度増分 ur のダイナミクスは、線形ドリフト D(1)(ur, r) と二次的拡散 D(2)(ur, r) を持つフォッカー＝プランク方程式によってよく記述され、確率的マコフ過程であることが確認された。
• 積分および詳細なフラクチュアーション定理は、粒子軌道によって正確に満たされており、系は非平衡的ではあるがエルゴード的であり、エントロピー生成と消滅が速度増分の進化における特定の構造と関連していることを示している。
• エントロピーを消費する軌道は、速度増分のカスケードにおける非定常的・凝集的構造に関連し、エントロピーを生成する軌道は、不可逆的・非平衡的力学を反映している。
• この形式的枠組みにより、加速度測定を必要とせず、粒子軌道データのみから確率的熱力学的エントロピー交換を直接推定可能であり、実験的にも利用可能である。
• 本結果は、乱流における慣性粒子力学のモデリングに向けた新規で最小限のフレームワークを提供し、三重相関閉じ込めによりマルチスケール統計の複雑さを低減するとともに、乱流モデルに対する新たな制約を提示する。