[論文レビュー] Markov property of monotone L\'evy processes

Uwe Franz, Naofumi Muraki|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2004

Random Matrices and Applications参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、遷移半群を単調な Lévy-Khintchine 公式によって特徴付けることにより、加法的増分を伴う単調 Lévy 確率過程のマルコフ性を確立する。これらの過程は、アタールの「驚くべき変換」を経て古典的 Lévy 確率過程から導かれることが示され、古典的ものに類似した指数型 martingale の族が構成され、Fock 空間の実現と条件付き期待値を用いてその martingale 性が証明される。

ABSTRACT

Monotone L\'evy processes with additive increments are defined and studied. It is shown that these processes have a natural Markov structure and their Markov transition semigroups are characterized using the monotone L\'evy-Khintchine formula. Monotone L\'evy processes turn out to be related to classical L\'evy processes via Attal's ``remarkable transformation.'' A monotone analogue of the family of exponential martingales associated to a classical L\'evy process is also defined.

研究の動機と目的

• 加法的増分を伴う単調 Lévy 確率過程のマルコフ性を確立すること。
• 関連するマルコフ遷移半群を、Lévy-Khintchine 公式の単調版を用いて特徴付けること。
• 古典的指数型 martingale に類似した、単調 Lévy 確率過程のための指数型 martingale の族を構成すること。
• 古典的および単調 Lévy 確率過程を結びつけるアタールの「驚くべき変換」の役割を明確にすること。
• 生成子および遷移核の明示的表現を、ブラウン運動およびポアソン過程を含めて提供すること。

提案手法

• 古典的 Lévy 確率過程の Fock 空間実現を用い、アタールの「驚くべき変換」を適用して単調 Lévy 確率過程を導出する。
• 単調独立性および条件付き期待値の理論を応用して、マルコフ構造を構築する。
• 逆コーシー変換と生成子関数 A(z) を用いて、単調 Lévy-Khintchine 公式を導出する。
• 逆変換の単射性と定義の明確さを保証するため、逆コーシー変換 Ht(z) の半群性質を用いる。
• 条件付き期待値 Es を用い、H−1t(z) および過程 Xt を含む、解像型作用素を用いた Mzt の martingale を構成する。
• Fock 空間上の関数計算と半群性を用いて、Es(Mzt) = Ms を示すことにより、martingale 性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的増分を伴う単調 Lévy 確率過程は、自然なマルコフ構造を持つのか？
• RQ2 単調 Lévy 確率過程の遷移半群は、単調 Lévy-Khintchine 公式によって特徴付けられるか？
• RQ3 古典的 Lévy 確率過程における指数型 martingale の族は、どのように単調設定に一般化されるか？
• RQ4 アタールの「驚くべき変換」は、古典的および単調 Lévy 確率過程を結びつける役割を果たすか？
• RQ5 ブラウン運動およびポアソン過程を含め、単調 Lévy 確率過程の生成子および遷移核の明示的表現は何か？

主な発見

• 加法的増分を伴う単調 Lévy 確率過程はマルコフ的であり、生成子 A(z) および逆コーシー変換 Ht(z) を含む単調 Lévy-Khintchine 公式によってその遷移半群が特徴付けられる。
• Xt = −aid は特徴的対 (a, 0) に対応する純粋なドリフトケースであり、x ≠ 0 のときその半群生成子は Lf(x) = (f(x)−f(0)−xf′(x))/x² である。
• 単調ブラウン運動は特徴的対 (0, δ0) から生じ、Ht(z) = √(z²−2t) であり、x ≠ 0 のとき生成子は Lf(x) = (f(x)−f(0)−xf′(x))/x² で、x = 0 のときは 1/2 f′′(0) である。
• 特徴的対 (−λ/2, (λ/2)δ1) を持つ単調ポアソン過程の生成子は Lf(x) = (λ/2) (f(x)−f(1)−xf′(x))/(x−1)² であり、その分布は [−√(2t), √(2t)] 上で密度 1/π√(2t−x²) を持つ絶対連続分布である。
• 任意の z ∈HT(C+) に対して、演算子過程 Mzt = 1/(H−1t(z)−Xt)Γt] はフィルトレーション (Γt] に関して martingale であり、s ≤ t のとき Es(Mzt) = Ms が成り立つ。
• 単調設定における指数型 martingale の構成は、Fock 空間の枠組みと条件付き期待値に依拠しており、逆コーシー変換を用いた古典的指数型 martingale の一般化である。