[論文レビュー] Markov structures and decay of correlations for non-uniformly expanding dynamical systems

José F. Alves, Stefano Luzzatto+1 more|ArXiv.org|May 17, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンパクト多様体上の非一様に拡張する力学系に対して、マルコフタワー構造を確立し、相関関数の減衰率が典型点が一様拡張に達するまでの時間を通じて制御されることを示している。主な貢献は、帰還時間の尾分布と相関関数の減衰の間の定量的関係を確立したことであり、系の非一様性に応じて多項式的または指数的混合率が得られる。

ABSTRACT

We consider non-uniformly expanding maps on compact Riemannian manifolds of arbitrary dimension, possibly having discontinuities and/or critical sets, and show that under some general conditions they admit an induced Markov tower structure for which the decay of the return time function can be controlled in terms of the time generic points need to achieve some uniform expanding behavior. As a consequence we obtain some rates for the decay of correlations of those maps and conditions for the validity of the Central Limit Theorem.

研究の動機と目的

• 不連続性や臨界集合を有する非一様に拡張する力学系の統計的性質を理解すること。
• 非一様拡張性が相関関数の減衰率に与える影響を特定すること。
• このような系において中心極限定理が成り立つ条件を確立すること。
• 系の統計的挙動を捉えることができる誘導マルコフタワー構造を構築すること。
• 帰還時間の尾分布と相関関数の減衰、およびエルゴード的性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• 帰還時間が明確に定義されたマルコフタワーを定義するための分割アルゴリズムを構築する。
• 遷移的および漸近的距離推定を用いて、反復の各段階における歪みと拡張率を制御する。
• 帰還時間関数を定義し、幾何的および測度論的推定を用いてその尾分布を分析する。
• 誘導写像を用いて、長時間の帰還を持つ集合のルベーグ測度の上界を導出する。
• 帰還時間の尾の減衰を用いて、相関関数の減衰関数の上界を導出する。
• 帰還時間分布の制御と関数空間の正則性を用いて、中心極限定理が成り立つ条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非一様拡張性は、非一様に拡張する系における相関関数の減衰率にどのように影響するか？
• RQ2 不連続性や臨界点を有する非一様に拡張する写像に対して、マルコフタワー構造が存在する条件は何か？
• RQ3 帰還時間の尾分布と相関関数の減衰の間の正確な関係は何か？
• RQ4 このような系における観測量に対して、中心極限定理はいつ成り立つのか？
• RQ5 典型点が一様拡張に達するまでの時間の観点から、相関関数の減衰率を定量的に記述できるか？

主な発見

• 一般条件下で、系は誘導マルコフタワー構造を有する。これにより統計的性質の分析が可能になる。
• 相関関数の減衰は、帰還時間の尾分布によって制御される：帰還時間が多項式的尾を示せば、相関関数の減衰も多項式的になる。
• 帰還時間の尾が指数的に減衰する場合、相関関数も指数的に減衰し、強混合性が示される。
• 帰還時間の尾が $\operatorname{Leb}(\{R > n\}) \lesssim n^{-\gamma} $ を満たす場合、相関関数の減衰は少なくとも $\gamma$ 次の多項式的減衰を示す。
• 帰還時間分布が適切なモーメント条件を満たす限り、ホルダー連続でコバウンダリーでない観測量に対して中心極限定理が成り立つ。
• 相関関数の減衰率は、拡張性の非一様性の度合いによって決定され、これは典型点が一様拡張に従うようになるまでの初期時間によって定量的に記述される。