[論文レビュー] Markov trace on a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$

Sadek Al Harbat|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限型 $A_n$ Temperley-Lieb代数からの古典的マーキョフトレースの上昇を用いて、型 $\tilde{A}_n$ のアフィンTemperley-Lieb代数の塔にマーキョフトレースの存在と一意性を確立する。このトレースは、コアまわりの巻き数がバランスの取れたドーナツ状の立体内に存在するアフィン向き付きリンクに対してジョーンズ多項式を拡張した類似の不変量を定義するために用いられる。

ABSTRACT

We define a tower of affine Temperley-Lieb algebras of type $ ilde{A_{n}}$. We prove that there exists a unique Markov trace on this tower, this trace comes from the Markov-Ocneanu-Jones trace on the tower of Temperley-Lieb algebras of type $A_{n}$.

研究の動機と目的

• 型 $\tilde{A}_n$ の一貫したアフィンTemperley-Lieb代数の塔を定義すること。
• 有限型 $A_n$ Temperley-Lieb代数からアフィン設定へ古典的マーキョフトレースを拡張すること。
• アフィンの塔に一意なマーキョフトレースを確立し、有限型トレースと整合性を保つこと。
• トレースを用いてアフィン向き付きリンクの不変量を定義し、ジョーンズ多項式を一般化すること。
• トレースがマーキョフ要素上の値と初期成分によって一意に決定されることを示すこと。

提案手法

• アフィンワイル群 $W(\tilde{A}_n)$ の完全可換な要素を用いて、アフィンTemperley-Lieb代数 $\tilde{TL}_n(q)$ の塔を構成する。
• $W(\tilde{A}_n)$ が $W(\tilde{A}_{n+1})$ のパラボリック部分群でないにもかかわらず、連続する代数間の準同型 $F_n: \tilde{TL}_n(q) \to \tilde{TL}_{n+1}(q)$ を定義する。
• マーキョフ要素を、$F_n(\tilde{TL}_n(q))$ または $F_n(\tilde{TL}_n(q))g_{\rho_n}F_n(\tilde{TL}_n(q))$ に属する要素として定義する。ここで $g_{\rho_n}$ はコックスター生成子に対応する。
• 文献[1]における $\tilde{A}_n$ アフィンワイル群における完全可換な要素の分類を用いて、$\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 上の任意のトレースが、マーキョフ要素上の値によって一意に決定されることを示す（定理4.6）。
• $\tilde{TL}_n(q)$ から $TL_n(q)$ への上への写像を通じて、有限型 $A_n$ の塔における標準的マーキョフトレースをアフィンの塔へと上昇させ、アフィンマーキョフ条件を満たすことを示す。
• 最初の3つの成分が上昇されたトレースと一致しなければならないことを証明し、その後定理4.6を用いて帰納的に一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 型 $\tilde{A}_n$ のアフィンTemperley-Lieb代数の塔にマーキョフトレースが存在するか？
• RQ2 無限次元的なアフィン代数の性質を考慮しても、そのようなマーキョフトレースは一意的か？
• RQ3 有限型 $A_n$ Temperley-Lieb代数における古典的マーキョフトレースを、一貫的にアフィン設定へ拡張できるか？
• RQ4 トレースは $\tilde{TL}_n(q)$ 上でどのように特定され、特定のクラスの要素上の値によって完全に特徴付けられるか？
• RQ5 このトレースを用いて、アフィン向き付きリンクの不変量を定義でき、ジョーンズ多項式を一般化できるか？

主な発見

• 型 $\tilde{A}_n$ のアフィンTemperley-Lieb代数の塔に一意なマーキョフトレース $(\rho_i)_{i \to \tilde{A}_n}$ が存在する。これは定理5.5で確立された。
• トレースは、$\tilde{TL}_{n+1}(q)$ 上のマーキョフ要素上の値によって一意に決定され、定理4.6で示された。この証明は、$\tilde{A}_n$ における完全可換な要素の分類に依存する。
• アフィンマーキョフトレースは、$\tilde{TL}_n(q)$ から $TL_n(q)$ への上への写像を通じた、有限型 $A_n$ の塔における古典的マーキョフトレースの引き戻しとして構成される。
• 任意のアフィンマーキョフトレースの最初の3つの成分は、上昇されたトレースと一意に一致する。これはコロナリー5.4で示された。
• トレースはダイニキン自己同型に関して不変であり、この性質が構成の整合性を保つ上で重要な役割を果たす。
• トレースは、コアまわりの正負の巻き数がバランスの取れたドーナツ状の立体内に存在するアフィン向き付きリンクに対して、ジョーンズ多項式に類似した不変量を定義する。