[論文レビュー] Markov traces on the Birman-Wenzl-Murakami algebras

Iván Marín, Emmanuel Wagner|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、量子正交/シミプレクティック双対性に由来する2つのBMW代数の変種を統一する普遍被覆代数を導入することで、Birman-Wenzl-Murakami（BMW）代数を介して要約されるマルコフトレースを分類する。また、$q = -1$ におけるIwahori-Hecke代数の中心拡大において、奇妙な $\rQ$-値マルコフトレースの存在を証明し、特殊パラメータ値におけるTemperley-Lieb部分代数に対して2つの追加トレースを同定する。そのうち1つは証明済み、もう1つは未解決の予想である。

ABSTRACT

We classify the Markov traces factoring through the Birman-Wenzl-Murakami (BMW) algebras. For this purpose, we define a common `cover' for the two variations of the BMW-algebra originating from the quantum orthogonal/symplectic duality, which are responsible for the so-called `Dubrovnik' variation of the Kauffman polynomial. For generic values of the defining parameters of the BMW algebra, this cover is isomorphic to the BMW algebra itself, and this fact provides a shorter defining relation for it, in the generic case. For a certain 1-dimensional family of special values however, it is a non-trivial central extension of the BMW-algebra which induces a central extension of the Temperley-Lieb algebra. Inside this 1-dimensional family, exactly two values provide possibly additional Q-valued Markov traces. We describe both of these potential traces on the (extended) Temperley-Lieb subalgebra. While we only conjecture the existence of one of them, we prove the existence of the other by introducing a central extension of the Iwahori-Hecke algebra at q=-1 for an arbitrary Coxeter system, and by proving that this extension indeed admits an exotic Markov trace. These constructions provide several natural non-vanishing Hochschild cohomology classes on these classical algebras.

研究の動機と目的

• Birman-Wenzl-Murakami代数を介して要約されるすべてのマルコフトレースを分類すること。
• Dubrovnikおよび標準カウフマン多項式の変種に起因するBMW代数の定義における曖昧さを解消すること。
• 2つのBMW代数の変種を統一する普遍被覆代数を構成し、一般の場合に短い定義関係を提供すること。
• 標準ジョーンズおよびカウフマントレース以外の追加の$\rQ$-値マルコフトレースの存在を調査すること。
• 中心拡大が新しい絡み目の不変量および非自明なホッフシュィルドコホモロジー類を生成する役割を調査すること。

提案手法

• Dubrovnikおよび標準ケースを統一する2つのBMW代数への準同型をもつ普遍被覆代数$\ttilde{BMW}_n$を導入する。
• 一般パラメータの場合に$\ttilde{BMW}_n$がBMW代数に同型であり、より短い定義関係が得られることを証明する。
• 特に$y = a^2 = 1$ の場合に、特殊パラメータ値におけるBMW代数の中心拡大$F_n$を構成し、Temperley-Lieb代数の拡大をもたらす。
• 基底要素における値を指定することで、拡張されたTemperley-Lieb代数上に新しいマルコフトレースを定義し、帰納的関係による一貫性を証明する。
• 任意のコクセター系に対して、$q = -1$ におけるIwahori-Hecke代数の中心拡大上に奇妙なマルコフトレースの存在を証明する。
• このトレースを用いて新しい絡み目の不変量を構成し、10交差までの絡み目について計算し、既知の多項式と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準ジョーンズおよびカウフマントレース以外に、BMW代数上にマルコフトレースは存在するか？
• RQ2 Dubrovnikおよび標準カウフマン多項式に関連する2つのBMW代数の変種を統一する普遍被覆代数の構造は何か？
• RQ3 特殊パラメータ値におけるBMW代数の非自明な中心拡大は存在するか？ その場合、追加のマルコフトレースを支持するか？
• RQ4 $q = -1$ におけるIwahori-Hecke代数の中心拡大上に、奇妙な$\rQ$-値マルコフトレースを構成できるか？
• RQ5 これらのトレースから得られる新しい不変量は、HOMFLYやカウフマン多項式では区別できない絡み目を区別できるか？

主な発見

• 一般パラメータの場合にBMW代数に同型である普遍被覆代数$\ttilde{BMW}_n$が構成され、より短い定義関係が得られる。
• $y = a^2 = 1$ の特別な値において、被覆代数$F_n$はBMW代数の非自明な中心拡大であり、Temperley-Lieb代数の中心拡大を誘導する。
• $q = -1$ におけるIwahori-Hecke代数の中心拡大上に、奇妙な$\rQ$-値マルコフトレースが存在することが証明され、新たな不変量が得られる。
• $y = a^2 = 1$ における拡張されたTemperley-Lieb代数上に、追加の$\rQ$-値マルコフトレースが1つ存在すると予想されるが、未解決のままである。
• 新しい不変量は、HOMFLYおよびカウフマン多項式が同一の絡み目、たとえば$11_{280}$と$11_{439}$を区別でき、$x=a$ の場合に値が$85$と$82$、$x=2a$ の場合に$22176$と$22048$を示す。
• Kanenobuの4つの3ブレード絡み目は、HOMFLYおよびカウフマン多項式が同一であり、$x=a$ の場合に値が$84$、$x=2a$ の場合に$734157650613659985$を示すが、不変量は同一の値を示す。これはHOMFLY多項式に依存する可能性を示唆している。