[論文レビュー] Markovian Maximal Coupling of Markov Processes

Björn Böttcher|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初めてとして、ジャンプ過程を含むマルコフ過程におけるマルコフ的極大カップリングを導入し、特徴づける。極大性のためのワサーベルシュタイン型距離条件を確立し、部分従属ブラウン運動に対して一意性を証明し、状態依存のミラーカップリングを用いたレヴィ測度の明示的生成子を導出することで、連続パスに限られた既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

Markovian maximal couplings of Markov processes are characterized by an equality of total variation and a distance of Wasserstein type. If a Markovian maximal coupling is a Feller process, the generator can be calculated, e.g. for reflection coupled Brownian motion. Apart from processes with continuous paths also jump processes are treated for the first time. For subordinated Brownian motion a Markovian maximal coupling is constructed by subordinating reflection coupled Brownian motion. This coupling is the unique Markovian maximal coupling and its generator is determined by state-space dependent mirror coupling of the corresponding Lévy measures.

研究の動機と目的

• 連続パスを有する拡散過程に限らない、ジャンプ過程に対してもマルコフ的極大カップリングの理論を拡張すること。
• ワサーベルシュタイン型距離条件を用いた、マルコフ的極大カップリングの特徴づけを確立すること。
• 部分従属ブラウン運動に対するマルコフ的極大カップリングの一意性を証明すること。
• 特に部分従属ブラウン運動を含むフェラー過程に対して、マルコフ的極大カップリングの生成子を導出すること。
• 部分従属の文脈において、状態空間に依存するレヴィ測度へのミラーカップリング技法の一般化を図ること。

提案手法

• 全変動の等しさとワサーベルシュタイン型距離の等価性を用いて、マルコフ的極大カップリングを特徴づけ、式 (3.3) で形式化する。
• 最適輸送理論とフェラー過程の理論を用いて、カップリングの存在および一意性を確立する。
• 反射カップリングされたブラウン運動を部分従属化することで、部分従属ブラウン運動に対するマルコフ的極大カップリングを構成する。
• 拡張された点付き生成子と状態空間に依存するレヴィ三つ組を用いて、カップリングの生成子を導出する。
• レヴィ測度を遷移確率の極限と関連付けるための補題 6.1 を用い、生成子の計算を可能にする。
• フェラー過程に対する記号に基づくアプローチを用い、$ C_c^∞ $ 関数が生成子の定義域に属さない場合にも適応可能に拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続パスを有する拡散過程に限らず、ジャンプ過程に対してもマルコフ的極大カップリングを構築し、特徴づけることは可能か？
• RQ2 与えられた過程のクラスに対して、マルコフ的極大カップリングの一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 フェラー過程に対して、マルコフ的極大カップリングの生成子を明示的に計算することは可能か？
• RQ4 部分従属ブラウン運動に対して、反射カップリングは一意な共適応的極大カップリングか？
• RQ5 部分従属過程の文脈において、ミラーカップリングを状態空間に依存するレヴィ測度へ一般化することは可能か？

主な発見

• 部分従属ブラウン運動のマルコフ的極大カップリングは、反射カップリングされたブラウン運動の部分従属化によって一意に特徴づけられ、構築される。
• 部分従属ブラウン運動のマルコフ的極大カップリングの生成子は、状態空間に依存するミラーカップリングを用いたレヴィ測度の明示的表現によって決定される。
• フェラー過程において、マルコフ的極大カップリングの生成子は、拡張された点付き生成子と遷移確率の極限挙動を用いて計算可能である。
• 式 (3.3) は、カップリングがマルコフ的かつ極大であるための必要十分条件を提供し、ワサーベルシュタイン型距離と結びつける。
• 部分従属ブラウン運動のカップリングが、連続パス過程に限られた先行研究を拡張して、一意なマルコフ的極大カップリングであることが示された。
• 本手法により、生成子の定義域の制限により標準的な記号に基づくアプローチが失敗する場合でも、生成子の計算が可能となる。