[論文レビュー] Markowitz portfolio selection for multivariate affine and quadratic Volterra models

Eduardo Abi Jaber, Enzo Miller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、無限大係数を伴う非マルコフ的・非セミマルティンググ・設定における多変量アフィンおよび2次ボルタ型モデルに、マークウィッツの平均・分散ポートフォリオ最適化を拡張し、最適戦略を特徴付けるリカッチ後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）を導入した。アフィンモデルでは多次元リカッチ＝ボルタ型方程式を用いて明示的解を導出し、2次モデルでは新規の解析的公式を導出。正の相関下では「粗いものを買い、滑らかなものを売ること」を特徴とする取引戦略が明らかになった。

ABSTRACT

This paper concerns portfolio selection with multiple assets under rough covariance matrix. We investigate the continuous-time Markowitz mean-variance problem for a multivariate class of affine and quadratic Volterra models. In this incomplete non-Markovian and non-semimartingale market framework with unbounded random coefficients, the optimal portfolio strategy is expressed by means of a Riccati backward stochastic differential equation (BSDE). In the case of affine Volterra models, we derive explicit solutions to this BSDE in terms of multi-dimensional Riccati-Volterra equations. This framework includes multivariate rough Heston models and extends the results of \\cite{han2019mean}. In the quadratic case, we obtain new analytic formulae for the the Riccati BSDE and we establish their link with infinite dimensional Riccati equations. This covers rough Stein-Stein and Wishart type covariance models. Numerical results on a two dimensional rough Stein-Stein model illustrate the impact of rough volatilities and stochastic correlations on the optimal Markowitz strategy. In particular for positively correlated assets, we find that the optimal strategy in our model is a `buy rough sell smooth' one.

研究の動機と目的

• 粗いボラティリティおよび確率的相関を伴う多変量・非マルコフ的ポートフォリオ最適化における解法の不足を補う。
• マークウィッツの平均・分散フレームワークを有界でない確率的係数を伴う多変量ボルタ型過程へ拡張する。
• アフィンおよび2次ボルタ型モデルにおける明示的最適投資戦略（粗いヘストン、シュタイン＝シュタイン、ウィシャルト型共分散モデルを含む）を導出する。
• 2次ケースにおけるリカッチ BSDE と無限次元リカッチ方程式との関係を確立する。
• 粗いボラティリティおよび確率的相関が最適ポートフォリオ割り当てに与える影響を数値的に示す。

提案手法

• 非マルコフ的・非セミマルティンググで有界でない係数を伴う不完全市場における連続時間のマークウィッツ問題を定式化する。
• 一般のフィルトレーションおよび許容性条件の下で、最適ポートフォリオ戦略をリカッチ後向き確率微分方程式（BSDE）を介して導出。
• アフィンボルタ型モデルでは、多次元リカッチ＝ボルタ型方程式を用いて解を表現し、先行研究の単変数結果を拡張する。
• 2次ボルタ型モデルでは、リカッチ BSDE に対する新規の解析的公式を導出し、それらを無限次元リカッチ方程式と関連付ける。
• ラプラス変換表現を用いて、アフィンおよび2次両ケースにおけるリカッチ BSDE を解く。
• 確率的フビニの定理および一般化されたグローンウォールドの不等式を用いて、関連する指数局所マルティンググのマルティンググ性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない係数および粗いボラティリティを伴う多変量・非マルコフ的・非セミマルティンググな設定下で、マークウィッツの平均・分散ポートフォリオ問題はどのように解けるか？
• RQ2 多変量アフィンボルタ型モデルにおける最適ポートフォリオ戦略の構造は何か。また、その明示的特徴づけは可能か？
• RQ3 多変量2次ボルタ型モデルにおいて、リカッチ BSDE に対して新たな解析的解が導出可能か？
• RQ4 粗いボラティリティおよび確率的相関は、多資産設定における最適投資戦略にどのように影響を与えるか？
• RQ5 リカッチ＝ボルタ型方程式は、アフィンボルタ型モデルにおける最適ポートフォリオを特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 多変量アフィンボルタ型モデルにおける最適ポートフォリオ戦略は、多次元リカッチ＝ボルタ型方程式によって表現され、ハーンとワング（2020a）の単変数結果が拡張された。
• 2次ボルタ型モデルでは、リカッチ BSDE に対する新規の解析的公式が導出され、無限次元リカッチ方程式と関係づけられた。
• 2次元の粗いシュタイン＝シュタインモデルにおける数値結果から、資産間の正の相関が「粗いものを買い、滑らかなものを売ること」を特徴とする最適戦略をもたらすことが示された。
• 検証手続きにおける指数局所マルティンググのマルティンググ性は、ノヴィコフの条件および一般化されたグローンウォールドの不等式を用いて証明された。
• 解法フレームワークは、粗いヘストン、粗いシュタイン＝シュタイン、粗いウィシャルト型共分散モデルに適用可能であり、これらの複雑な設定において明示的ポートフォリオ最適化を可能にした。
• 許容性の確認は、有界でない係数を伴う一般の非マルコフ的・非セミマルティンググな枠組みにおいて厳密に実施され、先行研究の検証結果の制限を克服した。