[論文レビュー] Martingale and Weak Solutions for a Stochastic Nonlocal Burgers Equation on Bounded Intervals

Guangying Lv, Jinqiao Duan|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ガラーキン近似、プロホロフの定理、スコロホドの埋め込みを用いて、有界区間における確率的非局所バーガース方程式のマルティングール解および弱解の存在を確立する。非局所ラプラシアン作用素 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を取り扱うために、古典的分数階ソボレフ空間が有界領域で失敗する問題を克服するため、新規の重み付き非局所ソボレフ空間を導入する。また、確定的対応方程式についても $L^2$-弱解の存在を証明する。

ABSTRACT

This work is about the existence of martingale solutions and weak solutions for a stochastic nonlocal Burgers equation on bounded intervals. The existence of a martingale solution is shown by using a Galerkin approximation, Prokhorov's theorem and Skorokhod's embedding theorem. The same Galerkin approximation also leads to the existence of weak solution for the corresponding deterministic nonlocal Burgers equation on a bounded domain.

研究の動機と目的

• 有界区間 $D=(-1,1)$ における非局所ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を持つ確率的非局所バーガース方程式に対するマルティングール解の存在を確立すること。
• $\alpha > 1$ のとき、有界領域における古典的分数階ソボレフ埋め込みおよびハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式の失敗を克服するため、新規の重み付き非局所ソボレフ空間を構築すること。
• 同一の有界領域における対応する確定的非局所バーガース方程式について、$L^2$-弱解の存在を証明すること。
• 非局所作用素の性質と非線形対流項 $uu_x$ の支配性の欠如により、標準的手法（要因分解やエネルギー推定）が失敗するという課題に対処すること。

提案手法

• ヒルベルト空間の有限次元部分空間におけるガラーキン近似を用いて、確率的非局所バーガース方程式の近似解を構成する。
• プロホロフの定理とスコロホドの埋め込み定理を用いて、近似解の法則の弱収束部分列を抽出し、マルティングール解の存在を保証する。
• 境界付近での非局所作用素の特異性を扱うために、重み $\rho(x) = \text{dist}(x,\partial D)^{\alpha/2}$ を持つ重み付き非局所ソボレフ空間 $W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$ を導入する。
• コンパクト埋め込み定理を適用して、近似解の列が $L^2(0,T;H)$ で相対的コンパクトであることを示し、極限解への収束を可能にする。
• 有限次元設定における伊藤の公式とエネルギー推定を用いて、近似解の成長を制御し、一様有界性を保証する。
• 確定的非局所バーガース方程式の弱形式を確立し、ガラーキン近似において極限を取ることで、$L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$ 内の弱解を取得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界区間における非局所ラプラシアン $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を持つ確率的非局所バーガース方程式に対して、マルティングール解を構成できるか？
• RQ2 有界領域において古典的分数階ソボレフ空間が失敗する状況で、非局所作用素 $(-\Delta)^{\alpha/2}$ を適切に取り扱うための関数空間をどのように定義できるか？
• RQ3 確定的非局所バーガース方程式は、有界区間における $L^2$-基底空間で弱解を有するか？
• RQ4 非局所拡散項が非線形対流項 $uu_x$ を支配しないという問題を、ガラーキン近似および確率的コンパクト性手法を用いて克服できるか？

主な発見

• ガラーキン近似、プロホロフの定理、スコロホドの埋め込みを用いて、$D=(-1,1)$ 上の確率的非局所バーガース方程式に対してマルティングール解が存在することが示された。
• 同一のガラーキンアプローチを用いて、確定的非局所バーガース方程式についても、$L^\infty(0,T;L^2(D)) \cap L^2(0,T;V)$ 内の弱解の存在が証明された。
• 境界付近での $(-\Delta)^{\alpha/2}$ の特異的挙動を扱うために、不可欠な新規の重み付き非局所ソボレフ空間 $W^{-\delta,2}_{\rho}(D)$ が導入された。
• ガラーキン近似の列は $L^2(0,T;V)$ で一様有界であり、$L^2(0,T;H)$ で相対的コンパクトであるため、弱解への収束が保証された。
• $\alpha > 1$ のとき、有界領域におけるハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式および標準的分数階ソボレフ埋め込みの失敗を、この手法が効果的に克服した。
• コール＝ホプフ変換や要因分解法に依存せず、非局所作用素の性質と有界領域の制約により、これらの手法が不適応であるという点を回避した。