[論文レビュー] Martingale-coboundary decomposition for stationary random fields

Dalibor Volný|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2017

Probability and Risk Models参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、完全に可換なフィルトレーションを持つ ℤ^d にインデックス付けされた定常確率場に対して、マルティングール・コバウンダリー分解を確立し、古典的な1次元結果を一般化する。L^p 空間（2 ≤ p < ∞）におけるそのような分解の必要十分条件を提示し、Heyde および Gordin の条件を拡張し、新しい弱不変性原理および大偏差推定値を導出する。特に d=1 の場合、指数的尾部バウンド exp(−c|n|^{1/3}) のオーダーが得られる。

ABSTRACT

We prove a martingale-coboundary representation for random fields with a completely commuting filtration. For random variables in L2 we present a necessary and sufficient condition which is a generalization of Heyde's condition for one dimensional processes from 1975. For Lp spaces with 2 \leq p &lt; \infty we give a necessary and sufficient condition which extends Volny's result from 1993 to random fields and improves condition of El Machkouri and Giraudo from 2016 (arXiv:1410.3062). In application, new weak invariance principle and estimates of large deviations are found.

研究の動機と目的

• 1次元定常過程からのマルティングール・コバウンダリー分解を、完全に可換なフィルトレーションを持つ d 次元確率場へ一般化すること。
• Heyde (1975) および Volný (1993) の結果を高次元へ拡張し、L^p (2 ≤ p < ∞) における分解の必要十分条件を確立すること。
• 分解を用いて、確率場に対する新しい弱不変性原理および大偏差推定値を導出すること。
• 多次元設定において、Dedecker-Rio や Maxwell-Woodroofe や El Machkouri-Giraudo の既存条件を上回る条件を改善すること。

提案手法

• 各次元 q に対して、σ-代数 F_l^{(q)} 上への直交増分への射影に基づく分解を、演算子 P_j^{(q)} を用いて行う。
• f = ∑_{S⊂{1,…,d}} ∏_{q∈S^c}(I - U_{ε_q})g_S の形の分解を定義し、g_S がフィルトレーションの直交増分に属することを仮定する。
• 直交マルティングール差の性質と繰り返しのモーメント不等式を用いて、部分和の L^p ノルムを評価する。
• Burkholder 型不等式および Markov の不等式を用いて、L^p 範囲および Orlicz 範囲における大偏差推定値を導出する。
• ψ_α(x) = exp((x + h_α)^α) − exp(h_α^α) を用いた Orlicz 範囲により、指数的尾部バウンドを取得する。
• 分解を応用して弱不変性原理および鋭い尾部推定値を導出し、特に d=1 の場合にオーダー exp(−c|n|^{1/3}) を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f ∈ L^p(ℤ^d) に対して、完全に可換な確率場の文脈でマルティングール・コバウンダリー分解が成立するための条件は何か？
• RQ2 Heyde および Gordin の条件は、p ≥ 2 の d 次元確率場へどのように一般化できるか？
• RQ3 分解から導かれる大偏差推定値は何か？ 1次元の場合の既知のバウンドと比較するとどうなるか？
• RQ4 新しい L^p 条件のもとで弱不変性原理が確立可能か？ 収束速度はどの程度か？
• RQ5 Dedecker-Rio や Maxwell-Woodroofe のような既存条件と比較して、新しい条件は多次元設定でどのように異なるか？

主な発見

• L^p (2 ≤ p < ∞) におけるマルティングール・コバウンダリー分解の必要十分条件が確立され、Volný (1993) の結果を確率場へ一般化した。
• 新しい L^p 条件のもとで、分解は弱不変性原理を意味し、古典的結果を高次元へ拡張する。
• L^p ノルム推定式が得られる：||∑_{1≤i≤n} U_i f||_p ≤ 2^{2d} p^{d/2} |n|^{1/2} ∑_S ||g_S||_p。
• 大偏差バウンドが得られる：μ(∑_{1≤i≤n} U_i f > x|n|) ≤ 2^{2dp} p^{dp/2} (∑_S ||g_S||_p)^p x^{-p} |n|^{-p/2}。
• d=1 かつ q=2/3 の場合、尾部推定値はオーダー exp(−c|n|^{1/3}) となり、[LV01] が1次元で得た鋭いバウンドと一致する。
• Orlicz 範囲版では、μ(∑ U_i f > x) ≤ (1+e^{h_q^q}) exp(−(x/(C|n|^{1/2} ∑ ||g_S||_{ψ_{β_q}} + h_q))^{q}) が得られ、q=2/3 の場合に指数的減衰を示す。