[論文レビュー] Martingale Functional Control variates via Deep Learning

Marc Sabaté Vidales, David Šiška+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Reservoir Engineering and Simulation Methods被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、同時に解の勾配を計算できる深層学習ベースの手法を提案する。この手法により、マルティングール関数的制御変数を用いてバイアスのないデリバティブ価格評価が可能になる。マルティングール表現定理を介してニューラルネットワーク近似とモンテカルロシミュレーションを組み合わせることで、最適でないネットワーク学習であってもロバストでブラックボックス的な性能を達成でき、100次元に達する高次元問題においても有効であることが示された。

ABSTRACT

We develop several deep learning algorithms for approximating families of parametric PDE solutions. The proposed algorithms approximate solutions together with their gradients, which in the context of mathematical finance means that the derivative prices and hedging strategies are computed simulatenously. Having approximated the gradient of the solution one can combine it with a Monte-Carlo simulation to remove the bias in the deep network approximation of the PDE solution (derivative price). This is achieved by leveraging the Martingale Representation Theorem and combining the Monte Carlo simulation with the neural network. The resulting algorithm is robust with respect to quality of the neural network approximation and consequently can be used as a black-box in case only limited a priori information about the underlying problem is available. We believe this is important as neural network based algorithms often require fair amount of tuning to produce satisfactory results. The methods are empirically shown to work for high-dimensional problems (e.g. 100 dimensions). We provide diagnostics that shed light on appropriate network architectures.

研究の動機と目的

• パラメトリックPDEの解とその勾配を同時に近似できる深層学習アルゴリズムの開発。
• マルティングール表現定理を活用することで、ニューラルネットワークベースのPDEソルバーにおけるバイアスを低減すること。
• 事前の問題知識が限られても、またはネットワークの学習が不十分であっても有効な、ロバストでブラックボックス的な手法の構築。
• 例えば100次元のような高次元PDEの解を、ネットワークアーキテクチャ選定のための信頼性のある診断を併せて得られるようにすること。
• 数学的ファイナンスの応用において、デリバティブ価格とヘッジ戦略を同時に計算すること。

提案手法

• パラメトリックPDEの解とその勾配を近似するための深層ニューラルネットワークを学習する。
• ニューラルネットワークの勾配推定値をモンテカルロシミュレーションフレームワーク内の制御変数として使用する。
• マルティングール表現定理を適用して、ニューラルネットワーク近似からのバイアスを除去する制御変数を構築する。
• ニューラルネットワークの出力とモンテカルロパスを組み合わせ、マルティングール関数的制御変数を形成する。
• マルティングール表現の理論的性質に依存することで、ニューラルネットワークの不正確さに対しても手法がロバストであることを保証する。
• 手法から導出される診断を用いて、PDE解に適したニューラルネットワークアーキテクチャの選定を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深層ニューラルネットワークを用いて、PDEの解とその勾配を同時に近似し、制御変数によるバイアス補正が可能になるか。
• RQ2 ニューラルネットワークの近似が悪い、または適切にチューニングされていない場合でも、提案手法がどのようにしてロバスト性を保つのか。
• RQ3 金融デリバティブ価格評価で一般的な高次元PDE問題（例：100次元）に対して、この手法がどの程度対応できるか。
• RQ4 マルティングール表現定理は、どのようにしてニューラルネットワーク出力に基づくバイアスのない推定を可能にするか。
• RQ5 この手法から得られる診断は、PDE解に適した効果的なニューラルネットワークアーキテクチャの設計にどのように寄与できるか。

主な発見

• 提案手法は、マルティングール表現定理を活用することで、PDE解のニューラルネットワーク近似からのバイアスを効果的に除去した。
• ニューラルネットワークの学習が不十分であっても、事前の問題知識が限られても、ブラックボックスとしての有効性を維持するロバスト性を示した。
• 勾配に敏感なネットワーク出力により、同時にデリバティブ価格とヘッジ戦略の計算が可能となった。
• 実験的結果により、100次元に達する高次元問題においても、この手法の有効性が確認された。
• 手法から導出された診断ツールは、実務において適切なニューラルネットワークアーキテクチャの選定に役立つ具体的なインサイトを提供した。