[論文レビュー] Martingale optimal transport in the Skorokhod space

Yan Dolinsky, H. Meté Soner|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、càdlàg過程のスコロホド空間におけるマルتينゲール最適輸送に対して、カンタロヴィチ型双対性を確立し、経路依存的ヨーロピアン・オプションのスーパーリプレケーションコストが、静的オプション価格と整合的なマルチンゲール測度上での期待ペイオフの上界に等しいことを証明する。この結果は、凸順序制約付きのマルチマージナル設定へと拡張可能であり、離散化、弱収束、およびスコロホド表現を用いて不連続性と非コンパクト性に対処する。

ABSTRACT

The dual representation of the martingale optimal transport problem in the Skorokhod space of multi dimensional cadlag processes is proved. The dual is a minimization problem with constraints involving stochastic integrals and is similar to the Kantorovich dual of the standard optimal transport problem. The constraints are required to hold for very path in the Skorokhod space. This problem has the financial interpretation as the robust hedging of path dependent European options. In this second version, we included the multi-marginal case.

研究の動機と目的

• 経路依存的オプションのスーパーリプレケーションコストの双対表現を、多次元的でジャンプ・ドリフトに類似した市場において確立すること。
• 古典的カンタロヴィチ双対性を、不連続な価格軌道を許容するスコロホド空間のcàdlàg過程へと拡張すること。
• マルチマージナル制約（凸順序）およびペイオフ関数の成長条件を含む一般条件のもとで双対性を証明すること。
• マルチンゲール測度の非コンパクト性と価格過程の不連続性に起因する技術的課題を、確率論的および関数解析的技法を用いて処理すること。
• 特異的デリバティブのモデルインdependent価格付けおよびロバストヘッジのための厳密な基礎を提供すること。

提案手法

• 時間連続問題を、制御された時間ステップを有する有限時域・離散時系列市場への離散化。
• 離散近似に対して古典的ミニマックス定理を適用し、最適双対変数の存在を保証すること。
• FöllmerおよびKramkovの制約付き双対性を用いて、双対問題におけるマルチンゲール制約と価格制約を処理すること。
• 一様積分可能性およびタイトネスの性質を有するスコロホド空間内での近似過程の系列の構築。
• スコロホド表現定理を用いて、近似過程が極限過程にほとんど確実に収束することを達成すること。
• 極限過程を条件付き期待値による修正によりマルチンゲール性を回復させ、極限分布が整合的マルチンゲール測度の集合に属することを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スコロホド空間におけるcàdlàg過程に対して、カンタロヴィチ型双対性がスーパーリプレケーションに確立可能か？
• RQ2 マルチマージナル問題において、周辺分布の凸順序制約を含めた双対性はどのように拡張可能か？
• RQ3 マルチンゲール測度の集合の非コンパクト性と価格過程の不連続性に対処するための技術的ツールは何か？
• RQ4 ジャンプと多次元性を伴う状況下で、プライマルおよび双対系列の収束をどのように厳密に確立できるか？
• RQ5 双対形式化が、モデル不確実性下での一般経路依存的オプションの最小スーパーリプレケーションコストを特徴づけられるか？

主な発見

• 経路依存的オプション G のスーパーリプレケーションコストは、静的オプション価格と整合的なすべてのマルチンゲール測度上での期待ペイオフの上界に等しい。
• 双対性は |G(S)| ≤ C(1 + |S_T|) の成長条件およびスコロホド位相における一様連続性のもとで成立する。
• マルチマージナルケースでは、終期測度 μ_N がある p > 1 に対して p 階モーメントを有し、周辺分布が凸順序にある場合に双対性が拡張可能である。
• スコロホド表現および条件付き期待値による修正を経て構築された極限過程はマルチンゲールであり、その分布は整合的マルチンゲール測度の集合に属する。
• 元の過程と修正済み過程との間の近似誤差は ε で有界であり、双対系列の収束を保証する。
• 証明により、近似系列のタイトネスおよび一様積分可能性が確立され、確率的埋め込みを介して弱収束およびほとんど確実収束が可能となる。