[論文レビュー] Martingale problems on Banach spaces

Markus Kunze|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間値の局所 martingale 問題の解と、円柱型ウィーナー過程によって駆動される非線形確率微分方程式の解析的弱解との間の一対一対応を確立する。well-posed な方程式が強いマルコフ過程を生成することを証明し、可測なドリフト項と Hölder 継続的乗法的ノイズを持つ方程式にこの枠組みを適用する。

ABSTRACT

We introduce the local martingale problem associated to semilinear stochastic evolution equations driven by a cylindrical Wiener process and establish a one-to-one correspondence between solutions of the martingale problem and (analytically) weak solutions of the stochastic equation. We also prove that the solutions of well-posed equations are strong Markov processes. We apply our results to semilinear stochastic equations with additive noise where the semilinear term is merely measurable and to stochastic reaction-diffusion equations with Holder continuous multiplicative noise.

研究の動機と目的

• バナッハ空間値の確率過程の文脈において、非線形確率微分方程式の局所 martingale 問題を定式化・分析すること。
• martingale 問題の解と確率微分方程式の解析的弱解との間の厳密な対応関係を確立すること。
• well-posed な方程式の解が強いマルコフ過程であることを証明すること。
• 可測なドリフト項と Hölder 継続的乗法的ノイズを持つ方程式にこの枠組みを適用すること。

提案手法

• バナッハ空間値の確率過程の文脈において、局所 martingale 問題を形式化すること。
• 円柱型ウィーナー過程によって駆動される非線形確率微分方程式の理論を用いること。
• 関数解析的技法を用いて、martingale 問題の解の存在および一意性を確立すること。
• 弱解と martingale 問題を結びつける Yamada-Watanabe 型の議論を用いること。
• 遷移確率の強 Feller 性と正則性を用いて、強いマルコフ性を証明すること。
• 特定の SPDE のクラスに枠組みを適用する。これには、可測なドリフト項と Hölder 継続的ノイズを持つ方程式が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所 martingale 問題が、非線形確率微分方程式の弱解に対応するための条件は何か？
• RQ2 well-posed な確率微分方程式の解に対して、強いマルコフ性をどのように確立できるか？
• RQ3 本枠組みが取り扱える非線形性（例：可測、Hölder 継続的）の種別は何か？
• RQ4 martingale 問題の手法は、加法的ノイズと不規則な係数を持つ SPDE に適用可能か？
• RQ5 無限次元における martingale 問題の定式化において、円柱型ウィーナー過程の役割は何か？

主な発見

• 局所 martingale 問題の解と確率微分方程式の解析的弱解との間の一対一対応が確立された。
• well-posed な方程式の解が強いマルコフ過程であることが示され、古典的なマルコフ性が無限次元設定へと拡張された。
• 本枠組みは、僅かに可測なドリフト項を持つ非線形 SPDE に適用可能であり、適用可能な方程式の範囲が広がった。
• 結果は、Hölder 継続的乗法的ノイズを持つ確率反応拡散方程式へと拡張された。
• 円柱型ウィーナー過程の使用により、無限次元のノイズ構造を持つ方程式の取り扱いが可能になった。
• 本手法は、バナッハ空間における弱解およびその経路的性質を研究するための堅牢な分析的ツールを提供する。