[論文レビュー] Martingale representation processes and applications in the market viability with information flow expansion

Shiqi Song|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、マルティングール表現性のもとで、拡張された情報フローの完全な実現可能性が、ドリフト乗数仮定を意味することを確立している。本論文は、表現過程の2つの主要な性質——経路ごとの直交成分を有する局所有界性、ジャンプ測度における有限予測可能制約——を導入し、計算を簡略化するとともに、フィルトレーション拡大における実現可能性のためのドリフト乗数条件の必要性を証明している。

ABSTRACT

When the extit{martingale representation property} holds, we call any local martingale which realizes the representation a extit{representation process}. There are two properties of the extit{representation process} which can greatly facilitate the computations under the extit{martingale representation property}. Actually, on the one hand, the extit{representation process} is not unique and there always exists a extit{representation process} which is locally bounded and has pathwisely orthogonal components outside of a predictable thin set. On the other hand, the jump measure of a extit{representation process} satisfies the extit{finite predictable constraint}. In this paper, we give a detailed account of these two properties. As application, we will prove that, under the extit{martingale representation property}, the extit{full viability} of an expansion of market information flow implies the extit{drift multiplier assumption}.

研究の動機と目的

• マルティングール表現性の下での表現過程の構造的性質を明確化すること。
• 表現過程が予測可能で細い集合を除き、局所有界かつ経路ごとに直交する成分を持つように再構成可能であることを示すこと。
• ジャンプ測度における有限予測可能制約が、マルティングール射影性を可能にすることを示すこと。
• マルティングール射影性と有限予測可能制約との同値性を確立すること。
• マルティングール表現性のもとで、拡張された情報フローの完全な実現可能性がドリフト乗数仮定を意味することを証明すること。

提案手法

• 論文は、経路ごとの直交構造と局所有界性に注目しながら、マルティングール表現性の文脈における表現過程を分析する。
• 局所マルティングールのジャンプ測度における有限予測可能制約を導入・特徴づけ、マルティングール射影性と関連付ける。
• ヤコブの半マルティングール理論と予測可能双対投影を用いて、マルティングール射影性が成立するための条件を導出する。
• 特に仮説(H′)の下でフィルトレーション拡大に応用し、ドリフト乗数仮定と完全な市場実現可能性との関係を明らかにする。
• $ G^{ullet}_h $ を構成し、$ \Gamma(X^{ullet}_h) = G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $ となるようにする。これにより、ドリフト作用素に関する重要な恒等式が確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルティングール表現性の下で、表現過程を体系的に再構成し、局所有界性と経路ごとの直交成分を満たすことができるか？
• RQ2 有限予測可能制約が、ジャンプ測度に対するマルティングール射影性を保証する役割を果たすか？
• RQ3 マルティングール射影性は、局所マルティングールの予測可能双対投影の存在とどのように関係するか？
• RQ4 どのような条件下で、拡大されたフィルトレーションの完全な実現可能性がドリフト乗数仮定を意味するか？
• RQ5 実現可能な市場モデルにおけるドリフト作用素は、資産過程の予測可能二次変動に関するストキャスティック積分として表現可能か？

主な発見

• マルティングール表現性の下では、表現過程を常に、予測可能で細い集合を除き、局所有界かつ経路ごとに直交する成分を持つように選べる。
• 局所マルティングールのジャンプ測度における有限予測可能制約は、マルティングール射影性が成立するための必要十分条件である。
• マルティングール射影性は、関数空間 $ W_*(\mu - \nu) $ における可積分関数の集合が、$ M $-可積分な $ H $ に対して $ {}^{\top}\!H \centerdot M $ の集合と一致するという条件と同値である。
• ドリフト作用素 $ \Gamma(X^{ullet}_h) $ は $ G^{ullet}_h \centerdot [X^{ullet}_h, X^{ullet}_h]^{\mathbb{F}\cdot p} $ として表現可能であり、拡大されたフィルトレーションにおける重要な恒等式が確立される。
• 元のフィルトレーションがマルティングール表現性を満たす場合、拡張された情報フローの完全な実現可能性は、ドリフト乗数仮定を意味する。