[論文レビュー] Martingale-type processes indexed by the real line

Andreas Basse-O’Connor, Svend-Erik Graversen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意の時間間隔における増分がマルティンググールであるような、実数直線でインデックスが付与された増分マルティンググール—すなわち、時間 $ t \to -\infty $ における挙動に注目したプロセス—を導入し、その分析を行う。ほとんど確実に $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ が存在するための必要十分条件を確立し、二種類のストキャスティック積分を定義する：増分積分と $ -\infty $ からの適切なストキャスティック積分。後者があるのは、前者がほとんど確実に極限を持ち、その結果得られるプロセスが局所マルティンググールであるときであることを示す。

ABSTRACT

Some classes of increment martingales, and the corresponding localized classes, are studied. An increment martingale is indexed by the real line and its increment processes are martingales. We focus primarily on the behavior as time goes to minus infinity in relation to the quadratic variation or the predictable quadratic variation, and we relate the limiting behavior to the martingale property. Finally, integration with respect to an increment martingale is studied.

研究の動機と目的

• 実数直線でインデックスが付与された増分マルティンググールを定義し、その性質を研究すること。ここで、任意の区間における増分プロセスがマルティンググールである。
• ほとんど確実に $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ が存在するための条件を特定すること。
• 予測可能または二次変動を用いて、$ M - M_{-\infty} $ が局所マルティンググールであるための必要十分条件を確立すること。
• 増分マルティンググールに関する二種類のストキャスティック積分（増分積分と $ -\infty $ からの適切な積分）を定義し、その分析を行うこと。
• ブラウン運動の増分によって生成されるフィルトレーションにおいて、マルティンググール表現結果を提供すること。

提案手法

• 任意の $ s \in \mathbb{R} $ に対して、$ (M_{t+s} - M_s)_{t \geq 0} $ がマルティンググールであるような増分マルティンググール $ M = (M_t)_{t \in \mathbb{R}} $ の概念を導入し、標準的なマルティンググールを一般化する。
• 二種類のストキャスティック積分を定義する：$ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $（増分積分）と $ \phi \bullet M $（$ -\infty $ からの適切な積分）。後者は、前者がほとんど確実に極限を持ち、その差が局所マルティンググールであるときかつそのときに限り存在する。
• 増分マルティンググールの分解を用いて、$ M_{-\infty} $ の存在を予測可能二次変動 $ \langle M \rangle $ または二次変動 $ [M] $ の可積分性に関連付ける。
• ジャコドとシルヤエフ（2003）の標準的なマルティンググール理論とストキャスティック積分を応用し、$ -\infty $ における挙動に焦点を当て、予測可能過程と停止時刻を用いて条件を導出する。
• $ \mathcal{L}L^1(M) $ が、ストキャスティック積分 $ \phi \bullet M $ が適切に定義され、かつ局所マルティンググールであるような最大のクラスであることを確立する。
• マルティンググール表現結果を示す：任意の $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ は、$ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $ を用いて $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $ と表され、任意の $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ は $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $ と表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 増分マルティンググール $ M $ に対して、$ \lim_{t\to-\infty} M_t $ がほとんど確実に存在するための条件は何か？
• RQ2 $ M - M_{-\infty} $ が局所マルティンググールであるのはいつか？ 予測可能または二次変動を用いてその特徴づけは可能か？
• RQ3 $ -\infty $ からのストキャスティック積分 $ \phi \bullet M $ が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ4 増分積分 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ と適切な積分 $ \phi \bullet M $ の関係は何か？ 後者はいつ適切に定義されるか？
• RQ5 ブラウン運動の増分フィルタレーションにおいて、任意の増分局所マルティンググールは、そのブラウン運動に関する積分として表現可能か？

主な発見

• ほとんど確実に $ M_{-\infty} = \lim_{t\to-\infty} M_t $ が存在するのは、予測可能二次変動 $ \langle M \rangle $ が $ -\infty $ で有限であるときであり、特に連続過程ではその条件が単純である。
• プロセス $ M - M_{-\infty} $ が局所マルティンググールであるのは、二次変動 $ [M] $ が $ -\infty $ で局所的に可積分であるとき、あるいは同値に $ \langle M \rangle $ が局所的に有限であるときである。
• ストキャスティック積分 $ \phi \bullet M $ が適切に定義されるのは、増分積分 $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M $ が $ -\infty $ でほとんど確実に極限を持ち、かつ $ \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M - \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} M_{-\infty} $ が局所マルティンググールであるときである。
• $ \mathcal{L}L^1(M) $ は、積分 $ \phi \bullet M $ が定義可能な最大のクラスであり、すべての $ \phi \in \mathcal{L}L^1(M) $ に対して $ \phi \bullet M_{-\infty} = 0 $ が成り立つ。
• ブラウン運動 $ B $ の増分によって生成されるフィルタレーションにおいて、任意の $ M \in \mathcal{ILM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ は、ある $ \phi \in \mathcal{IL}L^1(B) $ を用いて $ M = \phi \mathrel{\smash{\stackrel{{\scriptstyle\scriptscriptstyle\mathrm{in}}}{{\bullet}}}} B $ と表され、任意の $ M \in \mathcal{LM}(\mathcal{F}_{\cdot}^{\mathcal{I}B}) $ は $ M = M_{-\infty} + \phi \bullet B $ と表される。
• 連続的 $ M $ に対して、$ M_{-\infty} $ が存在するための条件は、$ \sigma $ をボラティリティ過程として、すべての $ t $ に対して $ \int_{-\infty}^t \sigma_u^2 du < \infty $ であることに同値であり、これはリーヴィの特徴づけを一般化する。