[論文レビュー] Martingales, endomorphisms, and covariant systems of operators in Hilbert space

Dorin Ervin Dutkay, Palle E. T. Jørgensen|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 52

ひとこと要約

この論文は、マルティンゲール理論と作用素拡大を用いて、コンパクトな距離空間上の非可逆自己準同型からユニタリ作用素を構成するヒルベルト空間枠組みを発展させる。有限対一かつ全射写像 $ r: X \to X $ と関連して、プロジェクト型極限空間 $ X_\infty $ を定義し、$ X \times \Omega $ 上に測度を保存するシフト $ S $ を構成することで、ペロン＝フロベニウス＝ルエル作用素と共変作用素系を介して $ L^2 $-マルティンゲールとユニタリ拡大を構成する。

ABSTRACT

We show that a class of dynamical systems induces an associated operator system in Hilbert space. The dynamical systems are defined from a fixed finite-to-one mapping in a compact metric space, and the induced operators form a covariant system in a Hilbert space of L^2-martingales. Our martingale construction depends on a prescribed set of transition probabilities, given by a non-negative function. Our main theorem describes the induced martingale systems completely. The applications of our theorem include wavelets, the dynamics defined by iterations of rational functions, and sub-shifts in symbolic dynamics. In the theory of wavelets, in the study of subshifts, in the analysis of Julia sets of rational maps of a complex variable, and, more generally, in the study of dynamical systems, we are faced with the problem of building a unitary operator from a mapping r in a compact metric space X. The space X may be a torus, or the state space of subshift dynamical systems, or a Julia set. While our motivation derives from some wavelet problems, we have in mind other applications as well; and the issues involving covariant operator systems may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 力学系とウェーブレット理論における非可逆自己準同型からユニタリ作用素を構成する手法を統合的かつ一般化すること。
• 有限対一かつ全射写像 $ r: X \to X $ から生じるプロジェクト型極限空間 $ X_\infty $ における $ L^2 $-マルティンゲールのヒルベルト空間枠組みを構築すること。
• ペロン＝フロベニウス＝ルエル作用素を介して、$ X $ 上の不変測度とパス空間 $ \Omega = \prod_\mathbb{N} \{1,\dots,N\} $ 上のレオン測度 $ P_x $ の間の対応関係を確立すること。
• 共変性条件を満たす収縮的または等長的作用素から、拡大理論的枠組みを用いてユニタリ作用素を構成すること。
• 作用素代数と自己準同型を用いて、ジュリア集合や部分シフトを含むより一般の設定へ、多スケール解析（MRA）枠組みを拡張すること。

提案手法

• 有限対一かつ全射自己準同型 $ r: X \to X $ による繰り返しの逆像の逆極限として、プロジェクト型極限空間 $ X_\infty = \varprojlim (X, r) $ を定義する。
• 各 $ x \in \tau_{\omega_x}(X) $ を満たすように、$ S(x, \omega) = (r(x), \omega_x \omega_1 \omega_2 \dots) $ で定義される $ X \times \Omega $ 上のシフト作用素 $ S $ を構成する。
• 重み関数 $ W $ と密度 $ h $ を用いて、$ \sum_k W(\tau_k(x)) h(\tau_k(x)) = h(x) $ を満たす遷移測度 $ P_x $ を $ \Omega $ 上に定義する。
• 各 $ x_n = \tau_{\omega_n}(x_{n-1}) $ を満たすように、$ \Psi(x_0, x_1, \dots) = (x_0, \omega_1, \omega_2, \dots) $ で定義される $ \Psi: X_\infty \to X \times \Omega $ を用いて、プロジェクト型極限空間と積空間の間の測度論的同型を確立する。
• 推進測度 $ \hat{\mu} $ が $ \int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x) $ を満たすことを証明する。
• シフト $ S $ と測度 $ P_x $ を用いて、コープマン作用素を介して $ L^2(X_\infty, \hat{\mu}) $ 上にユニタリ作用素を定義し、$ X $ 上の力学をユニタリ表現へと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな距離空間上の非可逆自己準同型 $ r: X \to X $ は、より大きなヒルベルト空間上でのユニタリ作用素へどのように拡張可能か？
• RQ2 有限対一写像 $ r $ からのプロジェクト型極限に伴う $ L^2 $-マルティンゲール空間 $ L^2(X_\infty, \hat{\mu}) $ の構造は何か？
• RQ3 ペロン＝フロベニウス＝ルエル作用素と $ X $ 上の不変測度は、パス空間 $ \Omega $ 上の整合的な確率測度 $ P_x $ をどのように誘導するか？
• RQ4 共変作用素系と相互作用作用素は、等長的または収縮的作用素をユニタリ作用素へと拡大する際に果たす役割は何か？
• RQ5 ヒルベルト空間の拡大を用いて、標準的な $ L^2(\mathbb{R}) $ の設定を超えて、ジュリア集合、部分シフト、ソリノイドを含む多スケール解析（MRA）枠組みを一般化できるか？

主な発見

• $ \Psi: X_\infty \to X \times \Omega $ は可測な全単射であり、プロジェクト型極限空間と積空間の間の測度論的同型を確立する。
• 各 $ x \in X $ に対して $ \Omega $ 上の測度 $ P_x $ は適切に定義されており、有界な可測関数 $ f $ が最初の $ n $ 個の座標に依存する場合、$ \int_\Omega f(\omega) \, dP_x(\omega) = \sum_{\omega_1, \dots, \omega_n} W^{(n)}(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) h(\tau_{\omega_n} \dots \tau_{\omega_1}(x)) f(\omega_1, \dots, \omega_n) $ を満たす。
• シフト作用素 $ S $ は $ \Psi \circ \hat{r} \circ \Psi^{-1} = S $ を満たし、$ X_\infty $ 上の力学は $ X \times \Omega $ 上のシフトと位相的同型であることが示される。
• 推進測度 $ \hat{\mu} $ は $ \int_{X_\infty} f \, d\hat{\mu} = \int_X \int_\Omega f \circ \Psi^{-1}(x, \omega) \, dP_x(\omega) \, d\mu(x) $ を満たし、$ X $ 上の不変測度と $ X \times \Omega $ 上の積測度を結びつける。
• シフト $ S $ に関連するコープマン作用素は $ L^2(X_\infty, \hat{\mu}) $ 上でユニタリであり、$ X $ 上の力学のユニタリ拡大を提供する。
• この構成により、ウェーブレットや反復関数系（IFS）のための $ C^* $-代数的枠組みが得られ、$ L^2 $-マルティンゲール空間は、古典的設定を超えた多スケール解析の自然なヒルベルト空間として機能する。