[論文レビュー] MASA's and certain type I closed faces of C*-algebras

Lawrence G. Brown|ArXiv.org|Aug 16, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、C*-代数における極大アーベル自己随伴部分代数（MASA）に関する結果を一般化し、MASAが分離可能なC*-代数を恒久的に生成し、かつそのMASAへの純状態の制限が一意拡張性を満たす条件を確立する。主な貢献は、完全に分離された第二可算、局所コンパクトハウスドルフ空間Xと、双対における直交最小射影への条件を含む十分条件であり、Xのコンパクト部分集合に対応する閉射影がMASAの双対に含まれることを保証する。

ABSTRACT

A result of Akemann, Anderson, and Pedersen states that if a sequence of pure states of a C*-algebra A approaches infinity in a certain sense, then there is a MASA B such that each of the states has the unique extension property with respect to B. We generalize this in two ways: We prove that B can be required to contain an approximate identity of A, and we show that the discrete space which underlies the result cited can be replaced with a totally disconnected space. We consider two special kinds of type I closed faces, both related to the above, atomic closed faces and closed faces with nearly closed extreme boundary. One specific question is whether an atomic closed face always has an "isolated point". We give a counterexample for this and also show that the answer is yes if the the atomic face has nearly closed extreme boundary. We prove a complement to Glimm's theorem on type I C*-algebras which arises from the theory of type I closed faces. One of our examples is a type I closed face which is isomorphic to a closed face of every non-type I separable C*-algebra and which is not isomorphic to a closed face of any type I C*-algebra.

研究の動機と目的

• 非単位的C*-代数におけるMASAに関するAkemann, Anderson, Pedersenの結果を強化し、MASAが代数を恒久的に生成することを保証すること。
• 文献[5]で構成されたMASAがAにおいて恒久的に生成可能であることを示す条件を特定し、特にAのユニタリゼーションA˜の役割を分析すること。
• 離散空間からのMASA結果を、ℕ ∪ {∞}のような非離散的で局所コンパクトかつ完全に分離された空間へ一般化すること。
• 散乱C*-代数論に触発され、射影の閉面における孤立点の存在を研究すること。
• C*-代数におけるタイプIの閉面の概念を導入・分析すること、特にバーサル公式と閉射影との関係を検討すること。

提案手法

• 非単位的C*-代数AのユニタリゼーションÂを用い、Aにおける恒久的に生成するMASA Bの存在を、Âにおける恒等元を含むMASA B₁の存在と関連付ける。
• 射影におけるq連続性および強q連続性の概念を適用し、[7]および[11]の結果を援用して、A**内の要素の相対的連続性を分析する。
• ほぼ閉極端境界（NCEB）条件を導入する：あるt ∈ (0,1]に対して[P(A) ∩ F(p)]⁻ ⊆ {0} ∪ [t,1]P(A)が成り立ち、これにより純状態空間の閉包から局所コンパクトハウスドルフ空間Xへの適切な閉写像が存在することを保証する。
• NCEBとpA*pのノルム分離性が成り立つ場合、空間Xは可算かつ散らばっていることが示され、Xの閉部分集合に対応する閉射影の構成が可能になる。
• 直接積分理論とW*-代数構造を用いて、Xの閉部分集合がA**に閉射影を誘導することを示す。
• 射影pがバーサル公式と条件(G)を満たすならば、pはタイプIであることが示され、pA**pがタイプIのW*-代数であることが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単位的C*-代数におけるMASAが、純状態の制限が一意拡張性を満たすとともに、代数を恒久的に生成するための条件は何か？
• RQ2 AのユニタリゼーションにおけるMASAの存在が、Aにおける恒久的に生成するMASAの存在を示唆するのはどのような場合か？
• RQ3 ノルム分離性pA*pを有するA**における閉射影pが、p−p₀が閉であるような最小射影p₀を常に持つか？
• RQ4 純状態空間にどのような位相的条件が成り立つと、純状態の同値類が局所コンパクトハウスドルフ空間への適切な閉写像を誘導するか？
• RQ5 C*-代数における閉面F(p)がタイプIであるのはいつか、特にバーサル公式とpA**pの構造とどのように関係するか？

主な発見

• Xが完全に分離された第二可算、局所コンパクトハウスドルフ空間であり、かつ任意のコンパクトS ⊆ Xに対して∑ₓ∈S pₓが閉であるような直交最小射影(pₓ)が満たされる限り、分離可能なC*-代数AにMASA Bが存在し、BはAを恒久的に生成し、各φₓ|Bは一意拡張性を満たす。
• NCEB条件は、P(A) ∩ F(p)上の同値関係が局所コンパクトハウスドルフ空間Xへの適切な閉写像を誘導することを示し、pA*pがノルム分離的であれば、Xは可算かつ散らばっている。
• バーサル公式と条件(G)を満たす閉射影pに対して、pはタイプIであり、pA**pはタイプIのW*-代数である。
• pA*pがノルム分離的であり、Xが可算である場合、pの非ゼロの閉部分射影は、p′−p₁が閉であるような最小射影p₁を含む。
• pApが{ x ∈ B(H₀) : x − (xv₀,v₀)I_{H₀} ∈ K(H₀) }と同一視されるとき、その双対空間は自然にトレースクラス作用素T(H₀)に等長同型であり、ノルムはトレース双対性によって与えられる。
• 代数pApはB(H₀)に等しくないが、恒等作用素のスカラー倍からのずれがコンパクト作用素であるような作用素から成り、この構造は双対性のもとで保存される。