[論文レビュー] Maslov's complex germ and the Weyl--Moyal algebra in quantum mechanics and in quantum field theory

A. V. Stoyanovsky|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2007

advanced mathematical theories参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、マスロフの複素胚法と摂動的量子場理論を、ウェイリ＝モアル代数を用いて再定式化する。標準的な（擬）微分作用素の代わりにウェイリ順序作用素とモアル $*$-積を用いる。この枠組みにより、量子力学における漸近的解法が単純化され、量子場理論におけるS行列とファインマン図の自然な非摂動的解釈が得られ、$*$-積は作用素の合成とフォック空間における正規順序付けに対応する。

ABSTRACT

The paper is a survey of some author's results related with the Maslov--Shvedov method of complex germ and with quantum field theory. The main idea is that many results of the method of complex germ and of perturbative quantum field theory can be made more simple and natural if instead of the algebra of (pseudo)differential operators one uses the Weyl algebra (operators with Weyl symbols) with the Moyal *-product. Section 1, devoted to quantum mechanics, contains a closed mathematical description of the Maslov--Shvedov method in the theory of Schrodinger equation, including the method of canonical operator. In particular, it contains a new simple definition of the Maslov index modulo 4. Section 2, devoted to quantum field theory, contains a logically self-consistent exposition of the main results of perturbative quantum field theory not using the subtraction of infinities from the quantum Hamiltonian of free field and normal ordering of operators. It also contains a result (dynamical evolution in quantum field theory in quasiclassical approximation) close to the Maslov--Shvedov quantum field theory complex germ.

研究の動機と目的

• ウェイリ順序作用素を用いることで、量子力学における複素胚法と正準作用素の手法を単純化・明確化すること。
• 無限次元ウェイリ代数を用いることで、摂動的量子場理論における正規順序付けと無限大の減算の必要性を排除すること。
• 点における複素胚法を用いたマスロフ指数 mod 4 の自然な幾何的解釈を提供すること。
• ウェイリ代数の $*$-積とフォック空間における作用素の合成、および可換積が正規順序積に対応することの直接的対応関係を確立すること。
• アディアバティックスイッチングや再正規化の減算に依存せず、因果性とユニタリティ条件をウェイリ代数の元 $P(g)$ に課すことによって、量子場理論における力学的発展とS行列を定義すること。

提案手法

• ウェイリ記法による量子作用素の表現を用い、古典的観測量の対称的（ウェイリ順序）量子化を保証するウェイリ微分法の使用。
• モアル $*$-積を用いてウェイリ代数における作用素の合成を符号化し、非可換作用素乗法の代わりに用いる。
• 無限次元ウェイリ代数の構成により場作用素を記述し、$*$-積をフォック空間における作用素の合成に対応させる。
• メタプレクティック群のワイエル表現を用いて、古典的軌道に沿ったマスロフ＝シュヴェドフ波束の伝搬を記述する。
• S行列を、$D(x)$ をファインマン伝播関数 $D_c(x)$ に置き換えたウェイリ代数の元 $P(g)$ から得られるフォック空間における作用素 $S(g)$ として導出する。
• ウェイリ代数における減算プログラムを実装し、因果性とユニタリティを保ちながら、フォック空間における再正規化手順に直接対応させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイリ代数を用いることで、量子力学における複素胚法はどのように単純化され、自然な幾何的解釈が与えられるか？
• RQ2 ウェイリ＝モアル代数は、摂動的量子場理論における正規順序付けや無限大の減算の必要性をどのように排除するか？
• RQ3 ウェイリ代数における $*$-積は、フォック空間における作用素の合成と正規順序付けのどちらに対応するか？
• RQ4 アディアバティックスイッチングや再正規化を用いずに、$\varphi^4$ モデルにおけるS行列をウェイリ代数から直接導出可能か？
• RQ5 量子場理論における物理的要請（ローレンツ不変性、ユニタリティ、因果性）に対応する、ウェイリ代数の元 $P(g)$ における自然な代数的条件は何か？

主な発見

• ウェイリ順序を用いるとき、複素胚法における伝搬方程式は、自然に古典的軌道に沿った半形式の伝搬を記述する。
• マスロフ指数 mod 4 は、点における複素胚法によって自然に定義され、従来の文献にない、新たな内因的幾何的解釈が得られる。
• $D(x)$ を $D_c(x)$ に置き換え、$*$-積を作用素の合成に置き換えたウェイリ代数の元 $P(g)$ から得られるS行列は、ボゴリューボフ＝シュルコフのS行列と一致する。
• ウェイリ代数における因果性条件は、S行列が相互作用の過去の履歴にのみ依存する物理的要請に対応し、相対論的因果性を保証する。
• ウェイリ代数におけるユニタリティ条件 $P(g)*\overline{P(g)}=1$ は、フォック空間におけるS行列のユニタリティに対応する。
• ウェイリ代数における減算手続きは、フォック空間における再正規化の減算に正確に対応しており、形式的再正規化を回避する代わりに、それを代数的に埋め込むことで、恣意的再正規化を避けることが示された。