[論文レビュー] Mass and energy conservative high order diagonally implicit Runge--Kutta schemes for nonlinear Schrödinger equation in one and two dimensions

Ziyuan Liu, Hong Zhang+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2019

Numerical methods for differential equations参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の1次元および2次元問題に対して、不変エネルギー四乗化（IEQ）アプローチを用いて質量およびエネルギー保存を達成する高次対角陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを提案する。この手法は、空間方向にフーリエ擬スペクトル離散化を、時間方向に高次DIRK積分法を組み合わせており、数値実験において最大5次収束性、厳密な質量およびエネルギー保存（誤差 <10⁻¹⁴）、および長時間にわたる安定性を示している。

ABSTRACT

We present and analyze a series of conservative diagonally implicit Runge--Kutta schemes for the nonlinear Schrödiner equation. With the application of the newly developed invariant energy quadratization approach, these schemes possess not only high accuracy , high order convergence (up to fifth order) and efficiency due to diagonally implicity but also mass and energy conservative properties. Both theoretical analysis and numerical experiments of one- and two-dimensional dynamics are carried out to verify the invariant conservative properties, convergence orders and longtime simulation stability.

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の1次元および2次元問題に対して、高次でエネルギーおよび質量保存型の時間積分法を開発すること。
• 非線形項を含むNLSの長時間シミュレーションにおいて、質量およびエネルギーの両方を保存するという課題に取り組むこと。
• 不変エネルギー四乗化（IEQ）アプローチと対角陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを組み合わせ、任意の高次精度を達成するとともに保存則を維持すること。
• 半離散および完全離散系の保存性を厳密に証明すること。
• 収束性、保存性、特異点捕捉性能の観点から、数値実験を通じて手法の性能を検証すること。

提案手法

• 非線形シュレーディンガー方程式を、エネルギーが二次形式を持つ等価系に再定式化する不変エネルギー四乗化（IEQ）アプローチを適用し、非線形項を半陽的処理可能にする。
• 空間微分をフーリエ擬スペクトル法で離散化し、空間的PDEの構造を保持するスペクトル精度を達成する。
• 時間方向に2次から5次までの対角陰的ルンゲ＝クッタ（DIRK）スキームを用い、高次精度とA安定性を確保するとともに、対角構造を維持して効率的な解法を実現する。
• 段階値が特定の代数的制約（M=0）を満たす場合に、半離散および完全離散系が質量およびエネルギーを保存することを証明する。
• IEQ再定式化を用いて、元のNLS方程式を、時間積分法によって保存される修正エネルギーを持つ系に変換する。
• 周期的境界条件および複素数解を含む1次元および2次元NLS方程式の両方に対して、スキームを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形シュレーディンガー方程式の時間積分において、高次対角陰的ルンゲ＝クッタスキームを構築し、質量およびエネルギーを両方保存させることは可能か？
• RQ2 不変エネルギー四乗化（IEQ）アプローチにより、任意の多項式非線形項を有するNLSに対して、保存的で高次精度の時間積分法を構築可能か？
• RQ3 提案されたIEQ-DIRKスキームの時間方向収束次数は何か？また、長時間シミュレーションにおいてどのような性能を示すか？
• RQ4 IEQ-DIRKスキームは、NLS方程式の解における特異点や急勾配を正確に捉えることができるか？
• RQ5 長時間にわたるシミュレーションにおいて、質量およびエネルギーの誤差はどのように変化するか？また、マシン精度レベルで維持できるか？

主な発見

• 提案されたIEQ-DIRKスキームは、時間ステップサイズに対する$L^2$誤差の対数プロットから、最大5次収束性を確認した。
• 2次から5次までの全テストスキームにおいて、質量およびエネルギー誤差は数値的に無視できるほど小さく（$10^{-14}$未満）、マシン精度内での完全な保存性を確認した。
• $T=1000$、$ riangle t = 0.01$の長時間シミュレーションでも、質量およびエネルギー誤差が有界かつマシン精度レベルを維持しており、長時間安定性を示した。
• 2次元NLSの特異解の動的挙動（$|u_t|$の急激な変化）を正確に捉えており、質量およびエネルギー誤差が良好に制御されていることを確認した。
• 1次元移動波解の数値結果から、IEQ-DIRK(2,2)およびIEQ-DIRK(4,4)ともに、高精度で正確なソリトンプロファイルを再現した。
• 理論的証明により、条件$M = oldsymbol{0}$がIEQ-DIRKスキームによる質量およびエネルギー保存の必要十分条件であることが示され、重要な解析的基盤を確立した。