[論文レビュー] Mass at zero in the uncorrelated SABR model and implied volatility asymptotics

Archil Gulisashvili, Blanka Horvath+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、相関なしSABRモデル（ρ=0）におけるゼロ価格での質量の扱いについて、時間の小さい・大きい極限における取り扱いやすい漸近的表現を導出し、それらを用いてアービタージ・フリーなショートストライクインプライド・ボラティリティ展開を得た。主な貢献は、特に金利が低いか長期満期の状況下で従来の公式が破綻するような環境において、標準的SABR近似の精度に与えるゼロ価格での質量の影響を厳密に定量化したことにある。

ABSTRACT

We study the mass at the origin in the uncorrelated SABR stochastic volatility model, and derive several tractable expressions, in particular when time becomes small or large. As an application--in fact the original motivation for this paper--we derive small-strike expansions for the implied volatility when the maturity becomes short or large. These formulae, by definition arbitrage free, allow us to quantify the impact of the mass at zero on existing implied volatility approximations, and in particular how correct/erroneous these approximations become.

研究の動機と目的

• 標準的SABRインプライド・ボラティリティ近似の精度に与えるゼロ価格での質量の影響を定量化すること。
• 時間の小さい・大きい極限における、相関なしSABRモデル（ρ=0）における確率 P(X_T = 0) の取り扱いやすい漸近的表現を導出すること。
• ゼロにおける分布の特異部を組み込むことで、アービタージ・フリーなショートストライクインプライド・ボラティリティ展開を提供すること。
• SABRモデルにおけるゼロ価格での質量に対する鞍点近似およびブートストラップ技術の正当化。
• 標準的SABR漸近的性質が、β→0 または ν が大きいような極端なパrameter設定でなぜ失敗するのかを明らかにすること。

提案手法

• 時間変換技術を用いて、相関なし（ρ=0）の場合のSABR過程の分布を導出し、特にゼロにおける特異部に注目する。
• 鞍点近似法を用いてゼロ価格での質量を推定し、時間の小さい・大きい極限における漸近的展開を活用する。
• ブートストラップ技術を用いて、鞍点方程式の近似を繰り返し改善し、対数的漸近的領域における精度を高める。
• 時間およびモデルパrameterと関連する変数 y を用いて、P(X_T = 0) の明示的漸近的展開を log(1/y) および y の関数として導出する。
• 高次の項を比較することで近似の誤差境界を検証し、対数補正を用いて相対誤差を制御する。
• 得られたゼロ価格での質量表現を用いて、アービタージ・フリーに保証されたショートストライクインプライド・ボラティリティ展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関なしSABRモデルにおけるゼロ価格での質量は、時間の小さい・大きい極限でどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 低金利または長期満期市場において、ゼロ価格での質量が標準的SABRインプライド・ボラティリティ近似をどれほど無効にするか？
• RQ3 鞍点法およびブートストラップ法を用いて、相関なしSABRモデルにおける P(X_T = 0) の取り扱いやすい漸近的公式を導出可能か？
• RQ4 ゼロ価格での質量を適切に考慮した場合、インプライド・ボラティリティ展開の一次および高次補正項はどのように変化するか？
• RQ5 極端なパrameter設定下で、ゼロ価格での質量が既存のSABR近似の精度に与える定量的影響は何か？

主な発見

• 相関なしSABRモデルにおけるゼロ価格での質量は、時間の逆数に比例する変数 y に対して、y³ / log(y)² のオーダーで漸近的に変化する。
• ゼロ価格での質量の一次漸近的挙動は、M_y ~ y³ / (2 log(y)²) [1 + o(1)] で与えられ、log|log(y)| / log(y) を含む補正項が存在する。
• ブートストラップを用いた検証により、ゼロ価格における鞍点近似の妥当性が裏付けられ、相対誤差は O(log(y)² √y) で有界であり、y→0 の極限で減少する。
• 導出されたショートストライクインプライド・ボラティリティ展開は、ゼロにおける分布の特異部を考慮しているため、本質的にアービタージ・フリーである。
• 標準的SABR漸近的公式は、ゼロ価格に顕著な質量が存在する状況、特に ν が大きい、または β が 0 に近い場合に破綻し、この失敗はモデルの特異的挙動によって定量的に説明できる。
• 結果は、金利が負の環境において実証的に関連するゼロ価格の質量を考慮した、混合SABRモデル（ρ=0 および β=0 の組み合わせ）の使用を支持する。