[論文レビュー] Mass minimizers and concentration for nonlinear Choquard equations in $\\R^N$

Hong yu Ye|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の非線形チョクシャル方程式の質量最小化子について、鋭い存在および濃縮結果を確立する。質量臨界指数 $p = \frac{N+\alpha+2}{N}$ の場合、最小化子は $c < c_* = |Q|_2$ のみで存在し、$c \to c_*^-$ のとき、ポテンシャル $V(x)$ の最も平坦な最小値の周囲に集中する。変分法およびスケーリング解析を用いて、明確な漸近的挙動が導出される。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of minimizers to the following functional related to the nonlinear Choquard equation: $$ E(u)=\\frac{1}{2}\\ds\\int_{\\R^N}|\ abla u|^2+\\frac{1}{2}\\ds\\int_{\\R^N}V(x)|u|^2-\\frac{1}{2p}\\ds\\int_{\\R^N}(I_\\al*|u|^p)|u|^p $$ on $\\widetilde{S}(c)=\\{u\\in H^1(\\R^N)|\\ \\int_{\\R^N}V(x)|u|^2&lt;+\\infty,\\ |u|_2=c,c&gt;0\\},$ where $N\\geq1$ $\\al\\in(0,N)$, $\\frac{N+\\alpha}{N}\\leq p&lt;\\frac{N+\\alpha}{(N-2)_+}$ and $I_\\al:\\R^N\ ightarrow\\R$ is the Riesz potential. We present sharp existence results for $E(u)$ constrained on $\\widetilde{S}(c)$ when $V(x)\\equiv0$ for all $\\frac{N+\\alpha}{N}\\leq p&lt;\\frac{N+\\alpha}{(N-2)_+}$. For the mass critical case $p=\\frac{N+\\alpha+2}{N}$, we show that if $0\\leq V(x)\\in L_{loc}^{\\infty}(\\R^N)$ and $\\lim\\limits_{|x|\ ightarrow+\\infty}V(x)=+\\infty$, then mass minimizers exist only if $0&lt;c&lt;c_*=|Q|_2$ and concentrate at the flattest minimum of $V$ as $c$ approaches $c_*$ from below, where $Q$ is a groundstate solution of $-\\Delta u+u=(I_\\alpha*|u|^{\\frac{N+\\alpha+2}{N}})|u|^{\\frac{N+\\alpha+2}{N}-2}u$ in $\\R^N$.

研究の動機と目的

• 非線形チョクシャル方程式のエネルギー汎関数が $H^1(\mathbb{R}^N)$ 内の $L^2$-球に制約された場合の、最小化子の鋭い存在条件を確立すること。
• 減衰するポテンシャル下で、質量臨界ケース $p = \frac{N+\alpha+2}{N}$ の下で、最小化子の濃縮挙動を分析すること。
• 質量 $c$ が臨界閾値 $c_* = |Q|_2$ に近づく際の最小化子の漸近的プロファイルを特定すること。
• リーマン・ポテンシャル項に対する最良定数を有する鋭い不等式を導出し、$L^2$-ノルムと $H^1$-セミノルムを関連付けること。

提案手法

• スケーリングおよび変分的技法を用いて導出された、最良定数を有する鋭い不等式を用いて、非局所項 $(I_\alpha * |u|^p)|u|^p$ を制御すること。
• $L^2$-ノルムおよびポテンシャルエネルギーに制約を課えた下での最小化列の挙動を分析するため、濃縮・コンパクト性の原理を適用すること。
• スケーリング解析として、$u_c(x) \mapsto \varepsilon^{N/2} u_c(\varepsilon x + \varepsilon y_k)$ の変換を用いて、漸近的プロファイルを抽出し、濃縮点を同定すること。
• 臨界方程式 $-\Delta u + u = (I_\alpha * |u|^{\frac{N+\alpha+2}{N}})|u|^{\frac{N+\alpha+2}{N}-2}u$ の基底状態解 $Q$ を、臨界質量 $c_*$ の基準として用いること。
• ポテンシャル $V(x)$ をその最小集合の近傍で均質化および吹き出し（blow-up）技術を用いて分析し、最も平坦な最小値（$V(x) - V(x_i)$ のホモジニアティの次数 $q_i$ が最小の点）を濃縮点として特定すること。
• 支配収束定理の適用およびモデルプロファイルとの比較により、$c \to c_*^-$ のときのエネルギースケーリングの正確な漸近的割合を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形指数 $p = \frac{N+\alpha}{N}$ のとき、$c > 0$ のどの値に対してエネルギー汎関数 $I_p(c^2)$ が最小化子を有するか？
• RQ2 $\frac{N+\alpha}{N} < p < \frac{N+\alpha+2}{N}$ のとき、最小化問題 $I_p(c^2)$ が最小化子を有するための条件は何か？
• RQ3 質量臨界ケース $p = \frac{N+\alpha+2}{N}$ において、$c \to c_*^-$ のとき最小化子の挙動はどのようになるか。特に $V(x) \to \infty$ ($x \to \infty$ のとき) の場合に注目する。
• RQ4 最小化子の濃縮プロファイルは、$V(x)$ の最小集合近傍における局所的構造にどのように依存するか？
• RQ5 臨界閾値 $c \to c_*^-$ のとき、下界エネルギー $e_c$ の正確な漸近的スケーリングは何か。また、これはポテンシャルのホモジニアティとどのように関係するか？

主な発見

• 指数 $p = \frac{N+\alpha}{N}$ の場合、$I_p(c^2)$ の下界は $c > 0$ に対して達成されず、最小化子の観点から、汎関数は厳密に負であるが、下界が存在しない（無限大に発散する）。
• $\frac{N+\alpha}{N} < p < \frac{N+\alpha+2}{N}$ の場合、すべての $c > 0$ に対して $I_p(c^2)$ は負であり、かつ各 $c > 0$ に対して少なくとも一つの最小化子が存在する。
• 質量臨界ケース $p = \frac{N+\alpha+2}{N}$ において、最小化子は $c < c_* = |Q|_2$ のみで存在する。ここで $Q$ は臨界方程式の基底状態解である。
• $c \to c_*^-$ のとき、最小化子は $V(x)$ の最も平坦な最小値に集中する。これは、$V(x) - V(x_i)$ のホモジニアティ次数 $q_i$ が最小となる点を意味する。
• 漸近的エネルギースケーリングは、$c \to c_*^-$ のとき、$e_c \sim \frac{\lambda^2 c_*^2}{2} \left(\frac{N}{\alpha+2}\right)^{\frac{q}{q+2}} \frac{q+2}{q}$ と表される。ここで $\lambda = \min_i \lambda_i$、$q = \max_i q_i$ である。
• スケーリングされた最小化子は、$L^{\frac{2Ns}{N+\alpha}}(\mathbb{R}^N)$ 内で、$W_0\left(\left(\frac{\alpha+2}{N}\right)^{1/(q+2)} \lambda x\right)$ に比例するプロファイルに収束する。ここで $W_0$ は臨界方程式の径対称基底状態解である。