[論文レビュー] Massive particles coupled with 2+1 dimensional gravity and noncommutative field theory

Yuya Sasai, Naoki Sasakura|ArXiv.org|Feb 20, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2+1次元アインシュタイン重力におけるスピンなしの質量のある粒子と、リー代数的非可換時空におけるローレンツ型非可換場の理論の関係を調査する。粒子の運動量空間が $SL(2,R)/Z_2$ に同型であるのは、正の質量および全エネルギーが $1/(4G)$ 未満であるという制限付きの条件下でのみであるが、実際の運動量空間は任意の負エネルギー状態を含む。一方、非可換場の理論はそのような状態を扱えない。よって、非可換場の理論は2+1次元重力における質量のある粒子の完全な有効場の理論ではない。

ABSTRACT

Recently, it has been shown that the effective field theory of the Ponzano-Regge model with which spinless massive particles are coupled is given by three dimensional Euclidean noncommutative scalar field theory in the Lie algebraic noncommutative space [x^i, x^j]=2i kappa epsilon^{ijk}x_k (i,j,k=1,2,3) with kappa=4 pi G, where G is a gravitational constant. We examine whether there exists the relation between spinless massive particles coupled with 2+1 dimensional Einstein gravity and the Lorentzian version of the noncommutative field theory. Then, we point out that the momentum space of the spinless massive particles in 2+1 dimensional Einstein gravity is generally different from that of the noncommutative field theory, which is given by SL(2,R)/Z_2 group space.

研究の動機と目的

• リー代数的時空におけるローレンツ型非可換場理論 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ が、2+1次元アインシュタイン重力におけるスピンなしの質量のある粒子の量子力学的ダイナミクスを記述するかを特定すること。
• 2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間の構造を、特に異なる質量およびエネルギー条件の下で分析すること。
• 非可換場理論で知られているように、$SL(2,R)/Z_2$ の群空間が、2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間を完全に記述できるかを評価すること。
• 2+1次元量子重力の文脈において、非可換場理論がユニタリティおよび量子力学的原則と整合しているかを評価すること。

提案手法

• 回転行列 $\Omega(\beta)$ を用いた時空点の同定を通じて、2+1次元アインシュタイン重力における運動する質量のある粒子の解を幾何学的アプローチで構成する。
• 2+1次元重力のチチェン＝サイモンズ形式を用いて、質量のある粒子の運動量空間構造を導出し、特定の条件下で $SL(2,R)/Z_2$ に一致させることを示す。
• $SL(2,R)$ 群の生成子 $\tilde{\sigma}^i$ を用いて、$g = e^{i\kappa k \cdot \tilde{\sigma}}$ の形で運動量空間のパrametrization を導出する。
• 2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間と、同様に $SL(2,R)/Z_2$ 動き量空間を示すローレンツ型非可換場理論の運動量空間を比較する。
• エネルギーの上限を分析する：$\beta < \pi$ を満たす必要があることから、$m \leq 1/(4G)$ という上限が生じ、鋭い幾何構造が保証される。
• 任意の負エネルギー状態を含めるために、$SL(2,R)/Z_2$ の普遍被覆を、運動量空間の完全な構造の候補とみなす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー代数的時空におけるローレンツ型非可換場理論 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ は、2+1次元アインシュタイン重力におけるスピンなしの質量のある粒子の量子力学的ダイナミクスを記述するか？
• RQ2 2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間が $SL(2,R)/Z_2$ に同型であるのはどのような条件下か？
• RQ3 $SL(2,R)/Z_2$ 動き量空間が、2+1次元重力における質量のある粒子の状態の全スペクトルを記述できないのはなぜか？
• RQ4 $SL(2,R)/Z_2$ 動き量空間を持つ非可換場理論は、質量のある粒子を含む2+1次元量子重力の整合的な有効場の理論になり得るか？
• RQ5 負エネルギー状態を許容する場合、2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間の構造はいかなるものか？

主な発見

• 2+1次元アインシュタイン重力におけるスピンなしの質量のある粒子の運動量空間は、粒子の質量が正で、全エネルギーが $1/(4G)$ 未満である場合にのみ $SL(2,R)/Z_2$ に同型である。
• 2+1次元重力では任意の負質量解が許容され、その結果、$SL(2,R)/Z_2$ を超える運動量空間構造が生じるが、この構造は負エネルギー状態を含まない。
• リー代数的時空における非可換場理論 $[\hat{x}^i, \hat{x}^j] = 2i\kappa \epsilon^{ijk} \hat{x}_k$ は $SL(2,R)/Z_2$ 動き量空間を持つが、これは2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間を完全に記述できない。
• 先行研究で示されているように、非可換場理論はおそらく非ユニタリであるため、2+1次元量子重力における質量のある粒子の有効場の理論としての妥当性を失う。
• $SL(2,R)/Z_2$ の普遍被覆は、2+1次元重力における質量のある粒子の運動量空間の完全な構造の候補であるが、エネルギー上限の物理的解釈はまだ明確でない。
• この結果は、非可換場理論が、質量のある粒子が2+1次元アインシュタイン重力にカップリングする場合の正しい有効場の理論ではないことを示唆しており、運動量空間の不一致およびユニタリティの懸念が原因である。