[論文レビュー] Massless Thirring fermion fields in the boson field representation

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Jun 4, 2002

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1+1次元において、質量ゼロのシリング粒子のボソン場表現が、カイラル対称性の破れた相と整合することを確立し、紫外/赤外正則化子 $ M $ を用いて赤外発散を解消する。自由な質量ゼロのボソン場の正規順序指数関数を用いることで、著者らはフェルミオンの相関関数が有限であり、赤外カットオフ $ \mu $ に依存しないことを示し、カイラル凝集体の安定性および対称性破れ相におけるボソン化手法の有効性を確認した。

ABSTRACT

We show that the boson field representation of the massless fermion fields, suggested by Morchio, Pierotti and Strocchi in J. Math. Phys. 33, 777 (1992) for the operator solution of the massless Thirring model, agrees completely with the existence of the chirally broken phase in the massless Thirring model revealed in EPJC 20, 723 (2001) and hep-th/0112183, when the free massless boson fields are described by the quantum field theory, free of infrared divergences in 1+1-dimensional space-time, formulated in hep-th/0112184 and hep-th/0204237.

研究の動機と目的

• 質量ゼロのシリングフェルミオンのボソン場表現が、以前に同定された非摂動的カイラル対称性破れ相と整合することを確立すること。
• 1+1次元における自由な質量ゼロの(擬)スカラー場の2点Wightman関数における長年の赤外発散問題を解消すること。
• フェルミオン凝集体およびカイラル対称性の破れが、赤外カットオフ $ \mu $ に依存せず、有限スケール $ M $ を用いることで安定的かつ計算可能であることを示すこと。
• ボソン化フェルミオン表現における指数演算子の一貫した正規順序処理手順を提供し、相関関数の有限性を保証すること。

提案手法

• モルキオ、ピエロッティ、ストロッチによって提示された質量ゼロのシリングフェルミオンのボソン場表現を用いる。
• 赤外カットオフ $ \mu $ の代わりに有限スケール $ M $ を用いた正則化スキームを適用し、2点Wightman関数における発散を回避する。
• 関数的積分法および生成関数 $ Z[J] $ を用いて、ボソン場 $ \vartheta(x) $ の時-order指数関数の真空期待値を計算する。
• 関係式 $ :e^{i\beta\varphi(x)}: = e^{-\frac{1}{2}\beta^2 i\Delta(0;M)} e^{i\beta\varphi(x)} $ を用いて正規順序指数演算子を導出する。ここで $ i\Delta(0;M) = -\frac{1}{4\pi} \ln(\Lambda^2/M^2) $ である。
• 関数的微分を用いて $ Z[J] $ の微分を計算し、正則化されたプロパゲーター $ D^{(+)}(x-y;M) $ を含む時間順序真空期待値を得る。
• 演算子の恒等式 $ :e^{i\alpha\varphi(x)}::e^{i\beta\varphi(y)}: = e^{-\alpha\beta D^{(+)}(x-y;M)} :e^{i(\alpha\varphi(x)+\beta\varphi(y))}: $ を確立し、発散のない $ \mu $ に依存しない性質を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロのシリングフェルミオンのボソン場表現は、1+1次元におけるカイラル対称性破れ相と整合的であるか？
• RQ2 自由な質量ゼロの(擬)スカラー場の2点Wightman関数における赤外発散は、物理的観測量を保ったまま一貫的に除去可能か？
• RQ3 カイラル対称性破れの特徴であるフェルミオン凝集体は、赤外カットオフ $ \mu $ に依存せず、有限であるか？
• RQ4 $ \mu $ に依存しないが、ボソン化理論の代数的構造を保つ正規順序処理手順を構築可能か？
• RQ5 有限スケール $ M $ を $ \mu $ の代わりに用いることで、ボソン化フェルミオン理論における相関関数が有限かつ物理的に意味のあるものとなるか？

主な発見

• 正規順序指数 $ :e^{i\beta\varphi(x)}: $ の真空期待値は1に等しく、正規順序処理手順の整合性が確認された。
• 2点Wightman関数 $ D^{(+)}(x-y;M) $ は有限であり、スケール $ M $ のみに依存し、赤外カットオフ $ \mu $ には依存しない。これにより、長年の赤外発散問題が解決された。
• 正規順序指数の時間順序真空期待値は $ \langle 0|{\rm T}(:e^{i\alpha\varphi(x)}::e^{i\beta\varphi(y)}:)|0\rangle = e^{-\alpha\beta D^{(+)}(x-y;M)} $ を満たし、これは有限かつ $ \mu $ に依存しない。
• 質量ゼロのシリング模型のカイラル対称性破れ相におけるフェルミオン凝集体は非ゼロのままであり、計算可能であり、$ T=0 $ における破れ相の安定性が確認された。
• 演算子の恒等式 $ :e^{i\alpha\varphi(x)}::e^{i\beta\varphi(y)}: = e^{-\alpha\beta D^{(+)}(x-y;M)} :e^{i(\alpha\varphi(x)+\beta\varphi(y))}: $ により、すべての相関関数が有限かつ $ \mu $ に依存しないことが保証された。
• この形式的体系は、長距離秩序のない状態を示すメルミン＝ワーグナー＝ホーエンベルクの定理と整合的である。これは、解析が $ T=0 $ に限定されているため、この定理は適用されない。