[論文レビュー] Masur-Veech volumes and intersection theory: the principal strata of quadratic differentials

D. Chen, Martin Moeller+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、曲線のモジュライ空間上の交線論を用いて、二次微分の層のマスール＝ヴェーチ体積の予想的公式を提案し、それを証明する。主層（単純な零点のみをもつ）に対しては、体積が二次的ホッジ bundle の最高セグレ類を含む明示的交線数に等しくなることが示され、これが線形ホッジ積分に帰着される。主な結果は、このクラスがエイナールド＝オラントインの位相的再帰によって計算可能であることを証明し、体積および関連する不変量の明示的計算を可能にする。

ABSTRACT

We describe a conjectural formula via intersection numbers for the Masur-Veech volumes of strata of quadratic differentials with prescribed zero orders, and we prove the formula for the case when the zero orders are odd. For the principal strata of quadratic differentials with simple zeros, the formula reduces to compute the top Segre class of the quadratic Hodge bundle, which can be further simplified to certain linear Hodge integrals. An appendix proves that the intersection of this class with $\psi$-classes can be computed by Eynard-Orantin topological recursion. As applications, we analyze numerical properties of Masur-Veech volumes, area Siegel-Veech constants and sums of Lyapunov exponents of the principal strata for fixed genus and varying number of zeros, which settles the corresponding conjectures due to Grivaux-Hubert, Fougeron, and elaborated in [the7]. We also describe conjectural formulas for area Siegel-Veech constants and sums of Lyapunov exponents for arbitrary affine invariant submanifolds, and verify them for the principal strata.

研究の動機と目的

• 曲線のモジュライ空間上の交線数を用いて、二次微分の層のマスール＝ヴェーチ体積の公式を予想し、証明すること。
• 単純な零点のみをもつ主層に対して、体積が二次的ホッジ bundle の最高セグレ類の計算に帰着されることを確立すること。
• このセグレ類とψ-類の交線が、エイナールド＝オラントインの位相的再帰によって計算可能であることを示すこと。
• この公式を用いて、固定された genus に対して零点の数を変化させたときの体積、シーゲル＝ヴェーチ定数、リャプノフ指数の漸近的性質を分析すること。
• 任意のアフィン不変部分多様体における面積シーゲル＝ヴェーチ定数およびリャプノフ指数の和の予想的公式が、主層の場合に成り立つかを検証すること。

提案手法

• 予想的公式（予想1.1）を提示し、マスール＝ヴェーチ体積が、付随ラインバンドの第一チャーン類 ζ と、射影化された層上のψ-類を含む交線数として表現されることを示す。
• 奇数位の零点のみをもつ層に対してこの公式を証明（定理1.2）し、体積がζのみを含む交線数に等しくなることを示す。
• 単純な零点のみをもつ主層に対して、二次的ホッジ bundle Qg,n の最高セグレ類を関連する交線クラスとして特定する。
• 既知のホッジ bundle の特徴類の公式を用いて、体積計算を線形ホッジ積分に帰着させる（定理1.3）。
• 特定のスペクトル曲線（x(z) = -z - ln z, y(z) = z²）におけるエイナールド＝オラントインの位相的再帰を用いて、セグレ類とψ-類の交線を計算する。
• 再帰核の漸近展開を用いてクラス Ωg,n[a,b] を構成し、これが関連する交線数を生成することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 曲線のモジュライ空間上の交線数を用いて、二次微分の層のマスール＝ヴェーチ体積を計算できるか？
• RQ2 二次的ホッジ bundle の最高セグレ類は位相的再帰によって計算可能であり、主層に対してマスール＝ヴェーチ体積をもたらすか？
• RQ3 零点数を増加させた場合の主層におけるマスール＝ヴェーチ体積、シーゲル＝ヴェーチ定数、リャプノフ指数の和の漸近的挙動は何か？
• RQ4 セグレ類とψ-類の交線はエイナールド＝オラントインの位相的再帰を用いて計算可能か？
• RQ5 任意のアフィン不変部分多様体におけるシーゲル＝ヴェーチ定数およびリャプノフ指数の和の予想的公式は、主層の場合に成り立つか？

主な発見

• 予想的公式（予想1.1）は、奇数位の零点のみをもつ層に対して証明された（定理1.2）。
• 単純な零点のみをもつ主層 Qg,4g−4+2n(14g−4+n, −1n) に対して、体積は線形ホッジ積分を含む明示的交線数として与えられる（定理1.3）。
• セグレ類 s(Qg,n) とψ-類の交線は、スペクトル曲線 (x(z) = -z - ln z, y(z) = z²) におけるエイナールド＝オラントインの位相的再帰によって計算され、付録の式(4)の公式が証明された。
• 位相的再帰により、マスール＝ヴェーチ体積は amplitudes Fg,n[0,...,0] の ki=0 項として得られ、[the7] で知られている結果と一致する。
• 体積の公式を用いて、正規化された体積が n に関して次数高々 ⌊(g-1)/2⌋ の有理関数であることを証明し、[the7] における予想を確認した。
• 本稿は、主層の場合における面積シーゲル＝ヴェーチ定数およびリャプノフ指数の和の予想的公式を検証し、ホッジ積分を用いた明示的表現を提供した。