[論文レビュー] Matching and digital control implementation for underactuated systems

F. V. Andreev, Dave Auckly+3 more|ArXiv.org|Mar 29, 2000

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、アンダーアクチュエーテッド系のデジタル制御実装を、マッチング制御則の族を用いて提示する。特に、逆立った振り子カート系に焦点を当て、標本化データ制御と状態推定を扱う。幾何的マッチングを用いて非線形制御則を導出し、サンプリングおよび観測者フィードバックを含む現実的なデジタル制約のもとで、小さな初期条件および大きな初期条件の下での数値シミュレーションにより安定性を検証する。

ABSTRACT

This note describes two problems related to the digital implementation of control laws in the infinite dimensional family of matching control laws, namely state estimation and sampled data induced error. The entire family of control laws is written for an inverted pendulum cart. Numerical simulations which include sampled data and a state estimator are presented for one of the control laws in this family.

研究の動機と目的

• アンダーアクチュエーテッド非線形系の連続的マッチング制御則のデジタル実装を開発し、サンプリングや状態推定といった実用的制限を扱う。
• 全状態フィードバックが利用できない状況下で、標本化されたデータを用いた離散的時間間隔での測定において、デジタル制御系の安定性を分析する。
• 同一のデジタル実装制約下で、非線形マッチング制御則と線形制御則の性能を比較する。
• 現実的なサンプリング時間と観測者ベースの状態推定を含む数値シミュレーションを用いて、制御則の有効性を検証する。
• デジタル実装効果が存在する状況でも、閉ループ系が局所的に漸近的に安定を保つ条件を同定する。

提案手法

• 制御則は幾何的マッチング技術を用いて導出され、閉ループ系が望ましい形式を取り、自然なリャプノフ関数を持つように保証される。
• 制御入力を、望ましい動的特性に一致させるために、偏微分方程式系を解くことにより決定する。この際、計量、接続、射影作用素を用いる。
• 特定の制御則が、配置空間 Q、計量 g、ポテンシャル V を持つ逆立った振り子カート系に適用される。アンダーアクチュエーションをモデル化するために射影 P が用いられる。
• 制御入力 f(X) は、クリストッフェル記号、ポテンシャルエネルギーの勾配、および λ, ĝ, および ĉ を含む補正項の組み合わせとして構成される。
• デジタル実装のため、離散時間観測者モデルが用いられる。状態推定値は、サンプリング周期 τ=0.0143s で更新され、利得行列 Gd を持つ線形観測者を用いる。
• システムは離散時間モデル (3) を用いてシミュレートされ、状態の伝播は A_d および B_d を介し、観測者更新は G_dC(x_k - x̂_k) を介して行われる。τ が十分に小さい場合、安定性が保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アンダーアクチュエーテッド系の連続的マッチング制御則を、標本化データを伴うデジタル制御フレームワークに効果的に実装する方法は何か？
• RQ2 全状態フィードバックが利用できない状況で、どのような状態推定戦略が閉ループ系の安定性を保証するか？
• RQ3 標本化データおよび観測者フィードバックを伴うデジタル実装系が、どのような条件下で局所的に漸近的に安定となるか？
• RQ4 同一のデジタル実装制約下で、非線形マッチング制御則と線形制御則の性能はどのように比較されるか？
• RQ5 サンプリング周期 τ は、デジタル制御系の安定性および収束性においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 非線形マッチング制御則は、小さな初期条件および大きな初期条件の両方において、逆立った振り子カートの制御において線形制御則を上回る性能を示す。
• 数値シミュレーションの結果、非線形制御則は、標本化データおよび状態推定が存在する状況下でも、小さな初期条件 (θ₀=0.4) の場合にシステムを安定化できることを示している。
• 線形および非線形制御則の両方において、同じデジタル実装パrameter を用いた場合、大きな初期条件 (θ₀=1.1) の場合にシステムは不安定になる。
• τ=0.0143s および観測者利得 Gd を用いたデジタル制御系は、平衡点まわりの線形化が安定であり、かつ τ が十分に小さい場合、局所的に漸近的に安定である。
• 制御則パrameter は、線形化された動的特性に一致させることで決定された：σ₀=-1.59, μ₀=17, w₀=0.00296, Φ₀=1.48, h₀=0.0081。原点における正しい線形化を保証する。
• 観測者ベースの状態推定方式は、位置測定値から全状態を効果的に再構成でき、速度が直接測定不能な状況下でもデジタル制御実装を可能にした。