[論文レビュー] Matching Book Embedding of the Cartesian Product of a Complete Graph and a Cycle

Zeling Shao, Yanqing Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2020

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$p,q \geq 3$ に対して、直積 $K_p \Box C_q$ のマッチングブック厚さを決定し、$mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ を証明する。著者らは、$p$ と $q$ の偶奇に基づくケース別分析により、交差を避けるために頂点の順序付けとページ間での辺の配置を実施し、各頂点が1ページあたり度数1以下となるように保証する。奇数および偶数の完全グラフとサイクルの明示的構成が行われる。

ABSTRACT

The $book$ $embedding$ of a graph $G$ is to place the vertices of $G$ on the spine and draw the edges to the pages so that the edges in the same page do not cross with each other. The book embedding is $matching$ if the pages have maximum degree $1$. The $matching$ $book$ $thickness$ is the minimum number of pages in which graphs can be matching book embedded. In this paper, we show that the matching book thickness of the Cartesian product $K_p\Box C_q$of a complete graph $K_p$ and a cycle $C_q$ is equal to $Δ(K_p\Box C_q)+1$.

研究の動機と目的

• 完全グラフ $K_p$ とサイクル $C_q$ の直積 $K_p \Box C_q$ のマッチングブック厚さを決定すること。
• すべての $p,q \geq 3$ に対して $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ が成り立つかどうかという未解決問題を解明すること。
• すべての $p$ と $q$ の偶奇の組み合わせに対して、交差のないマッチングブック埋め込みを明示的に構成すること。

提案手法

• 行と列の走査に基づき、特定の順序を用いて $K_p \Box C_q$ の頂点のスパイン順序付けを行う。この順序は行を交互に切り替えつつ、巡回的対称性を尊重する。
• 列インデックスの和を $2n+1$ または $2n$ を法として計算し、その結果に基づいて辺をページに割り当てる。これにより、同じ行からの辺がページに均等に分散され、度数の競合を避ける。
• 再帰的かつ対称的な辺の配置戦略を用いる：各行内の辺は列インデックスの和に基づきページに割り当てられ、行間の辺は偶奇と隣接関係に応じて専用のページに配置される。
• 偶数サイクル $C_{2m}$ が分散可能であることに着目し、補題2.5を適用して $mbt(K_p \Box C_{2m})$ を $mbt(K_p) + \Delta(C_{2m}) = mbt(K_p) + 2$ で上界付ける。
• 両方の $p$ と $q$ が奇数のとき、$K_p \Box C_q$ が非二部グラフであることから、分散不可能であることが示され、したがって $mbt \geq \Delta + 1$ である下界を証明する。
• 奇数 $p$ に対しては $2n+3$ ページ、偶数 $p$ に対しては $2n+2$ ページを用いた明示的構成により上界を検証し、すべての辺が交差なく配置され、各頂点が1ページあたり度数1以下となることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $p,q \geq 3$ に対して、$K_p \Box C_q$ のマッチングブック厚さは何か？
• RQ2 すべての $p,q \geq 3$ に対して、$mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ が成り立つか、偶奇にかかわらず成立するか？
• RQ3 すべての $K_p$ と $C_q$ の偶奇の組み合わせに対して、明示的なマッチングブック埋め込みを構成できるか？
• RQ4 両方の $p$ と $q$ が奇数のとき、$K_p \Box C_q$ の非二部構造がマッチングブック厚さにどのように影響するか？

主な発見

• $K_{2n+1} \Box C_{2m+1}$ のマッチングブック厚さは $2n+3$ であり、これは $\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+2) + 1$ に等しい。
• $K_{2n} \Box C_{2m+1}$ のマッチングブック厚さは $2n+2$ であり、$\Delta(K_{2n} \Box C_{2m+1}) + 1 = (2n+1) + 1$ に等しい。
• $K_{2n} \Box C_{2m}$ のマッチングブック厚さは $2n+2$ であり、$\Delta(K_{2n} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+1) + 1$ に等しい。
• $K_{2n+1} \Box C_{2m}$ のマッチングブック厚さは $2n+3$ であり、$\Delta(K_{2n+1} \Box C_{2m}) + 1 = (2n+2) + 1$ に等しい。
• 著者らは4つのすべてのケースに対して明示的構成を提供し、非二部性による理論的下界と分散可能サイクルの性質による上界を確認した。
• この結果により、すべての $p,q \geq 3$ に対して $mbt(K_p \Box C_q) = \Delta(K_p \Box C_q) + 1$ が成り立つことが確認され、このクラスのグラフに対して問題が解決された。