[論文レビュー] Matching Is as Easy as the Decision Problem, in the NC Model

Nima Anari, Vijay V. Vazirani|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多項式的に有界な辺重みをもつ一般のグラフにおける最小重み完全マッチング（MWPM）を求めるNCアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、『重みがW以下である完全マッチングが存在するか？』という意思決定問題を解けるオラクルへのアクセスを仮定している。主な貢献は、決定問題へのアクセスを用いて、決定問題に限定された計算に帰着させることで、長年の未解決問題「マッチングはNCに属するか？」の核心的難問を特定することにある。

ABSTRACT

Is matching in NC, i.e., is there a deterministic fast parallel algorithm for it? This has been an outstanding open question in TCS for over three decades, ever since the discovery of randomized NC matching algorithms [KUW85, MVV87]. Over the last five years, the theoretical computer science community has launched a relentless attack on this question, leading to the discovery of several powerful ideas. We give what appears to be the culmination of this line of work: An NC algorithm for finding a minimum-weight perfect matching in a general graph with polynomially bounded edge weights, provided it is given an oracle for the decision problem. Consequently, for settling the main open problem, it suffices to obtain an NC algorithm for the decision problem. We believe this new fact has qualitatively changed the nature of this open problem. All known efficient matching algorithms for general graphs follow one of two approaches: given by Edmonds [Edm65] and Lovász [Lov79]. Our oracle-based algorithm follows a new approach and uses many of the ideas discovered in the last five years. The difficulty of obtaining an NC perfect matching algorithm led researchers to study matching vis-a-vis clever relaxations of the class NC. In this vein, recently Goldwasser and Grossman [GG15] gave a pseudo-deterministic RNC algorithm for finding a perfect matching in a bipartite graph, i.e., an RNC algorithm with the additional requirement that on the same graph, it should return the same (i.e., unique) perfect matching for almost all choices of random bits. A corollary of our reduction is an analogous algorithm for general graphs.

研究の動機と目的

• マッチングがNCに属するかという長年の未解決問題を、オラクルにアクセス可能な意思決定問題に還元することで解決すること。
• 決定問題が、決定的並列マッチングアルゴリズムの中心的ブottleneckであることを特定すること。
• 最近の並列マッチングアルゴリズムの進展を、オラクルベースの枠組みを用いて一般のグラフへと拡張すること。
• 従来の二部グラフへの結果を一般のグラフへと拡張し、MWPMに対する擬似決定的RNCアルゴリズムを提供すること。
• マイナー閉じたグラフ族におけるMWPMの問題が、その族に対して意思決定問題に還元可能であることを示すこと。

提案手法

• 重みが小さい与えられたグラフにおいて、重みがW以下である完全マッチングが存在するかを判断するオラクルOを用いるNCアルゴリズムを設計する。
• 特に、バランスの取れた有効集合とタイトな奇数集合のラミナール族を用いた、最近の平面グラフ向けNCアルゴリズムからの構造的洞察を活用する。
• Cygan, Gabow, および Sankowskiの先行研究に基づき、完全マッチングポリトープの面内で、タイトな奇数集合の最大ラミナール族をNC的手続きで特定する。
• PartialMatchingを介した再帰的還元戦略を用い、三つ組を収縮するか、重みベクトルを適用することで、各反復で辺数を定数倍に削減する。
• 各再帰的呼び出しで頂点数が5/6の割合に減少することを保証し、多項式対数時間の深さを達成する。
• Wの二分探索により最小重みを計算する。これは意思決定問題とNC同等であり、RNCに基づく擬似決定的アルゴリズムの実現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフにおける最小重み完全マッチングの問題は、NCモデルにおいてオラクルにアクセス可能な意思決定問題に還元可能か？
• RQ2 MWPMのNC意思決定オラクルが存在するならば、一般のグラフにおけるMWPMのNCアルゴリズムが存在するか？
• RQ3 平面グラフ向けに用いられた技術は、オラクルフレームワークを用いて一般のグラフへと一般化可能か？
• RQ4 意思決定オラクルを用いて、一般のグラフにおけるMWPMの擬似決定的RNCアルゴリズムを構築可能か？
• RQ5 マイナー閉じたグラフ族において、意思決定問題がNCで解けるならば、その族におけるMWPMのNC解法はどの程度保証されるか？

主な発見

• 意思決定問題『重みがW以下である完全マッチングが存在するか？』にオラクルへのアクセスがあると仮定すると、一般のグラフにおけるMWPMのNCアルゴリズムが得られる。
• アルゴリズムは多項式時間のプロセッサ数を用い、多項式対数時間で実行され、再帰の深さがO(log |V| · log² |V|)で抑えられ、NCの複雑さを満たす。
• 非孤立な辺の数は、O(log² |V|)ステップごとに定数倍に削減され、多項式対数時間の反復回数を保証する。
• アルゴリズムは入力グラフのマイナーへのオラクルへのアクセスのみを必要とし、マイナー閉じたグラフ族への拡張を可能にする。
• Mulmuley, Vazirani, および VaziraniのRNCアルゴリズムにオラクルを置き換えることで、一般のグラフにおけるMWPMの擬似決定的RNCアルゴリズムが得られる。
• この結果は、意思決定問題がNCで解けるならば、マッチングがNCに属するかという主な未解決問題が解決されることを示唆する。