[論文レビュー] Matching LBO eigenspace of non-rigid shapes via high order statistics

Alon Shtern, Ron Kimmel|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2013

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、非剛性かつ等長な形状間のラプラス＝ベルトラミ固有関数を、特に3次モーメントを用いて高次モーメント分布を一致させることで、符号および順列のあいまいさを解消する統計的手法を提案する。この手法により、複数の形状を一様な固有空間に一貫して埋め込むことが可能となり、事前の対応関係や特徴点を必要とせずに、点対点の対応精度が著しく向上する。

ABSTRACT

A fundamental tool in shape analysis is the virtual embedding of the Riemannian manifold describing the geometry of a shape into Euclidean space. Several methods have been proposed to embed isometric shapes in flat domains while preserving distances measured on the manifold. Recently, attention has been given to embedding shapes into the eigenspace of the Lapalce-Beltrami operator. The Laplace-Beltrami eigenspace preserves the diffusion distance, and is invariant under isometric transformations. However, Laplace-Beltrami eigenfunctions computed independently for different shapes are often incompatible with each other. Applications involving multiple shapes, such as pointwise correspondence, would greatly benefit if their respective eigenfunctions were somehow matched. Here, we introduce a statistical approach for matching eigenfunctions. We consider the values of the eigenfunctions over the manifold as sampling of random variables, and try to match their multivariate distributions. Comparing distributions is done indirectly, using high order statistics. We show that the permutation and sign ambiguities of low order eigenfunctions, can be inferred by minimizing the difference of their third order moments. The sign ambiguities of antisymmetric eigenfunctions can be resolved by exploiting isometric invariant relations between the gradients of the eigenfunctions and the surface normal. We present experiments demonstrating the success of the proposed method applied to feature point correspondence.

研究の動機と目的

• 等長な形状間で生じる固有関数の順序の不一致および符号のあいまいさを解消する挑戦に応えること。
• 形状解析タスクのため、複数の非剛性形状を一様なユークリッド空間へ一貫して同時に埋め込むことを可能にすること。
• 従来の手法が符号のあいまいさ、特に反対称固有関数に対して信頼性を持って解消できないという限界を克服すること。
• 全探索や事前の対応関係の知識を必要としないスケーラブルな統計的フレームワークを構築すること。

提案手法

• 多様体上の固有関数値を確率変数とみなして、高次統計を用いてその多次元分布を一致させる。
• 3次モーメントを用い、低次の固有関数の順列および符号のあいまいさを、モーメント差を最小化することで推定する。
• 等長不変性を利用した固有関数勾配と表面法線の関係を活用して、反対称固有関数の符号のあいまいさを解消する。
• 3次モーメントと表面法線との間のクロスモーメントを組み合わせたコスト関数を定式化し、一致をガイドする。
• ノイズおよび非一様サンプリングに対して頑健性を高めるために、ソフトスレッショルド処理と非線形重み関数を適用する。
• アライメントの外部リファレンスとして、ヒートカーネルシグネチャ（HKS）の微分に基づくハイブリッドシグネチャを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラプラス＝ベルトラミ固有関数の高次統計的モーメントは、等長な形状ペアにおける符号および順列のあいまいさを解消するために利用可能か？
• RQ2 等長不変性をどのように活用して、反対称固有関数の符号のあいまいさを解消できるか？
• RQ3 事前の対応関係がなければ、3次モーメントのみでどれほど正確な固有関数の一致が達成できるか？
• RQ4 勾配－法線クロスモーメントを含めることで、モーメントのみのアプローチと比較して、一致の頑健性がどの程度向上するか？
• RQ5 提案手法は、複雑な非剛性形状において、複数の固有関数を一貫して一致させることにスケーラブルか？

主な発見

• 3次モーメントの差を最小化することで、低次の固有関数の符号および順列のあいまいさが効果的に解消された。
• 固有関数と表面法線との間のクロスモーメントを用いることで、反対称固有関数の符号推定が信頼性を持って可能となった。
• 事前の対応関係や特徴点を必要とせず、非剛性形状においても正確な点対点の対応が達成された。
• 実験では、対称的および高周波数の固有関数を扱う際の整合性と信頼性において、従来手法を上回ることを示した。
• ソフトスレッショルド処理と重み付きモーメント推定の適用により、ノイズおよび非一様サンプリングに対してもフレームワークの頑健性が実証された。
• バランスの取れた重みを有するコスト関数により、多様な形状ペアにおいて安定した収束と一貫性のある一致が達成された。