[論文レビュー] Matching Statistics of an It\^o Process by a Process of Diffusion Type

Gerard Brunick, Steven E. Shreve|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、与えられた多次元イト過程の各固定時刻における有限次元分布（ランニング最大値や平均を含む統計量を含む）を正確に再現する拡散型確率過程の弱解を構築する。主な結果として、元のイト過程に基づくオプションの価格が、模倣拡散過程に基づく価格と同一になることにより、広範なクラスのパス依存デリバティブのモデルに依存しない価格設定が可能になる。

ABSTRACT

Suppose we are given a multi-dimensional Itô process, which can be regarded as a model for an underlying asset price together with related stochastic processes, e.g., volatility. The drift and diffusion terms for this Itô process are permitted to be arbitrary adapted processes. We construct a weak solution to a diffusion-type equation that matches the distribution of the Itô process at each fixed time. Moreover, we show how to also match the distribution at each fixed time of statistics of the Itô process, including the running maximum and running average of one of the components of the process. A consequence of this result is that a wide variety of exotic derivative securities have the same prices when written on the original Itô process as when written on the mimicking process. 1 Partially supported by the National Science Foundation under Grants No. DMS-0404682 1.1 Contribution of this work In this paper, we show that it is possible to construct a process that mimics

研究の動機と目的

• 一般の多次元イト過程の有限次元分布を再現する拡散型過程を構築する手法を開発すること。
• ランニング最大値や成分のランニング平均などの統計量の一致を拡張すること。
• 元のイト過程に基づくオプションの価格が、模倣拡散過程に基づく価格と同一になることを確立すること。
• パス依存デリバティブのモデルに依存しない価格設定の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 確率微分方程式の弱解の使用により、元のイト過程と同一の有限次元分布を持つ拡散型過程を構築すること。
• 各固定時刻におけるイト過程の周辺分布を一致させる時間変換付きの拡散過程の構築。
• 拡張された状態空間ダイナミクスを用いて、模倣過程の状態空間にランニング統計量（例：ランニング最大値、平均）を組み込むこと。
• 固定時刻における分布的同等性を保証するため、マルティンググール表現および時間変換技術の適用。
• ダムビス＝デュビン＝シュバルツの定理および局所時刻技術を用いて、パス依存関数を一致させること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各固定時刻における有限次元分布が元のイト過程と一致するような拡散型過程を構築することは可能か？
• RQ2 周辺分布に加えて、成分のランニング最大値やランニング平均といったパス依存統計量の分布も一致させることは可能か？
• RQ3 元のイト過程に基づくオプションの価格が、模倣拡散過程に基づく価格と同一になるか？
• RQ4 このような模倣構成が可能となるための、イト過程のドリフトおよび拡散係数に課される条件は何か？

主な発見

• 各固定時刻における元のイト過程の有限次元分布と一致する拡散型過程の弱解が存在する。
• 模倣過程は、イト過程の成分のランニング最大値およびランニング平均の分布を一致させられるように構築できる。
• イット過程のパスに依存するペイオフを持つオプションは、模倣拡散過程に基づく価格と同一になる。
• ドリフトおよび拡散係数の具体的な形に関わらず、それらが適応過程である限り、この結果は成り立つ。