[論文レビュー] $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry I: Manifolds and Morphisms

Tiffany Covolo, Janusz Grabowski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、形式的冪級数とZn²-可換代数を用いて、古典的超幾何の一般化としてZn²-スーパー幾何を導入する。形式的級数が冪零性の代わりに機能することを示し、Zn²-スーパー多様体の圏が接ベクトルおよび余接ベクトル層関手に関して閉じていることを証明するとともに、多項式近似と関数代数の完備性を用いて、基本的同型定理をZn²の文脈に拡張する。

ABSTRACT

In Physics and in Mathematics $\mathbb{Z}_2^n$-gradings, $n \geq 2$, do appear quite frequently. The corresponding sign rules are determined by the `scalar product' of the involved $\mathbb{Z}_2^n$-degrees. The present paper is the first of a series on $\mathbb{Z}_2^n$-Supergeometry. The new theory exhibits challenging differences with the classical one: nonzero degree even coordinates are not nilpotent, and even (resp., odd) coordinates do not necessarily commute (resp., anticommute) pairwise (the parity is the parity of the total degree). It is based on the hierarchy: ` $\mathbb{Z}_2^0$-Supergeometry (classical differential Geometry) contains the germ of $\mathbb{Z}_2^1$-Supergeometry (standard Supergeometry), which in turn contains the sprout of $\mathbb{Z}_2^2$-Supergeometry, etc.' The $\mathbb{Z}_2^n$-supergeometric viewpoint provides deeper insight and simplified solutions; interesting relations with Quantum Field Theory and Quantum Mechanics are expected. In this article, we define $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds and provide examples in the atlas, the ringed space and coordinate settings. We thus show that formal series are the appropriate substitute for nilpotency. Moreover, the category of $\mathbb{Z}_2^n$-supermanifolds is closed with respect to the tangent and cotangent functors. The fundamental theorem describing supermorphisms in terms of coordinates is extended to the $\mathbb{Z}_2^n$-context.

研究の動機と目的

• Z1²-超幾何の一般化として、Zn²-次数に基づく一般化された超幾何の枠組みを構築すること。
• Zn²-可換かつ単位的R代数の層を用いて、Zn²-スーパー多様体を環付き空間として定義し、冪零性の代わりに完備性と収束性を導入すること。
• Zn²-スーパー多様体の圏が接ベクトルおよび余接ベクトル層関手に関して閉じていることを確立すること。
• 多項式近似と層の完備性を用いて、基本的同型定理をZn²の文脈に一般化すること。
• Zn²-次数構造を用いて、量子場理論や高次ベクトルバンドルへの応用の基盤を提供すること。

提案手法

• Zn²-次数のスカラー積に基づく符号則を用いて、Zn²-次数付きR代数上の形式的冪級数の層を用いて、Zn²-スーパー多様体の局所的モデルを定義する。
• Mをハウスドルフかつ第二可算な位相空間とし、AMを局所的ストークを持つZn²-可換かつ単位的R代数の層とするとき、(M, AM)をZn²-リング付き空間としてZn²-スーパー多様体を構成する。
• Zn²関数代数の完備性とアーベル群のハウスドルフ完備性を用いて、形式的級数の収束性と適切に定義された準同型を保証する。
• 局所モデルからグローバルなZn²-スーパー多様体を構成するために、層の貼り合わせと拡張技術を基底上で適用する。
• Zn²関数の多項式近似を用いて基本的同型定理を証明し、スーパー準同型のデータが座標写像によって完全に決定されることを示す。
• 古典的意味での分区関数を用いて、コンパクトな台を持つZn²関数と逆元が取れるグローバルな和を持つグローバルなZn²関数を構成し、層の完備性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zn²-スーパー幾何を、古典的超幾何の一般化として体系的に展開するにはどうすればよいか？
• RQ2 Zn²-次数付き超幾何において、冪零性に代わって何が機能するのか？形式的冪級数の完備性がその役割を果たす仕組みは？
• RQ3 Zn²-スーパー多様体間の準同型は、座標と層の引き戻しの観点からどのように特徴付けられるか？
• RQ4 Zn²-スーパー多様体の圏は、接ベクトルおよび余接ベクトル層関手に関して閉じているか？
• RQ5 基本的同型定理をZn²の文脈に拡張することは可能か？その拡張を保証する条件は何か？

主な発見

• Zn²-スーパー多様体は、局所的Zn²-リング付き空間(M, AM)として定義され、AMは局所的ストークを持つZn²-可換かつ単位的R代数の層であり、古典的スーパー多様体を一般化する。
• Zn²-次数付き代数上の形式的冪級数は、冪零座標の適切な代替として機能し、完備性により収束性と適切に定義された関数代数が保証される。
• Zn²-スーパー多様体の圏は接ベクトルおよび余接ベクトル層関手に関して閉じており、TMおよびT*MがZn+1²-スーパー多様体である。
• 基本的同型定理はZn²-スーパー幾何に拡張される：スーパー準同型は、座標写像によって完全に決定される。これはZn²関数の多項式近似を用いて証明される。
• 任意のZn²-スーパー多様体に対して、開被覆に従属する分区関数が存在する。Zn²関数はコンパクトな台を持ち、グローバルな和が逆元を持つ。これにより層の完備性が保証される。
• Zn²-スーパー多様体の関数代数AM(M)は、Zn²-次数の誘導するフィルトレーションに関して完備である。これにより形式的級数の収束性と適切に定義された準同型が可能になる。