[論文レビュー] ${\mathbb{Z}}_N$ graded discrete Lax pairs and discrete integrable systems

Allan P. Fordy, Pavlos Xenitidis|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2014

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スペクトルパラメータに関して線形な $N\times N$ 行列を用いた ${\mathbb{Z}}_N$-階化離散Lax対の体系的分類を導入し、豊かな代数的構造を持つ可積分離 discrete 系の構築を可能にする。主な貢献は、既知の可積分方程式（例：離散KdV、Boussinesq、Toda格子）を一般化する統一的枠組みを提供することであり、$N \geq 3$ に対しては、新規の九点型および六点型方程式を含む新たな系を導出する。また、マスター対称性および非局所的対称性を通じて、Bäcklund変換および連続的対称性との関係を確立する。

ABSTRACT

We introduce a class of ${\mathbb{Z}}_N$ graded discrete Lax pairs, with $N imes N$ matrices, linear in the spectral parameter. We give a classification scheme for such Lax pairs and the associated discrete integrable systems. We present two potential forms and completely classify the generic case. Many well known examples belong to our scheme for $N=2$, so many of our systems may be regarded as generalisations of these. Even at $N=3$, several new integrable systems arise. Many of our equations are mutually compatible, so can be used together to form "coloured" lattices. We also present continuous isospectral deformations of our Lax pairs, giving compatible differential-difference systems, which play the role of continuous symmetries of our discrete systems. We present master symmetries and a recursive formulae for their respective hierarchies, for the generic case. We present two nonlocal symmetries of our discrete systems, which have a natural representation in terms of the potential forms. These give rise to the two-dimensional Toda lattice, with our nonlinear symmetries being the Bäcklund transformations and our discrete system being the nonlinear superposition formula (for the generic case).

研究の動機と目的

• ${\mathbb{Z}}_N$-階化 $N\times N$ Lax対を用いた離散可積分系の体系的分類スキームの構築。
• 本稿の枠組みを用いて、既知の可積分方程式（例：離 discrete KdV、修正KdV、Boussinesq）を多成分系に一般化すること。
• 連続的等スペクトル変形を局所的対称性として特定し、階層を形成するマスター対称性を構成すること。
• 非局所的対称性を通じて、離散系と2次元Toda格子との関係を確立し、それらがBäcklund変換および非線形重ね合わせ公式として同定されることを示すこと。
• 非標準的な初期値問題を有する2次元および3次元格子を構成するための、異なる離 discrete 系の整合性を探索すること。

提案手法

• ${\mathbb{Z}}_N$-階化行列構造とレベル分解を導入し、Lax対および関連する離 discrete 系を定義する。
• 一般系に対して、商型および加法型の2つのポテンシャル形態を定義し、同一系の二重記述を可能にする。
• 同値関係および還元手続きを用いて、同値でない系を分類し、互いに素なケースおよび退化ケースを同定する。
• Lax行列 $L$ および $M$ の等スペクトル変形を導出し、微分差分方程式を生成する。これらは離 discrete 系の連続的対称性として解釈される。
• 非自己同型の流れを用いてマスター対称性を構成し、一般の互いに素なケースにおいて、可換な対称性階層を生成する。
• 2つの非局所的対称性（x-およびy-流れ）を同定し、それらがポテンシャル形の2次元Toda格子に対してBäcklund変換として作用することを示し、明示的な行列表現を与える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スペクトルパラメータに関して線形な ${\mathbb{Z}}_N$-階化 $N\times N$ Lax対を、離 discrete 可積分系を生成するための体系的分類にどう適用できるか。
• RQ2 特に $N \geq 3$ の場合に、得られる離 discrete 系の構造的および代数的性質は何か。また、それらは既知の可積分方程式をどのように一般化するか。
• RQ3 Lax行列の連続的等スペクトル変形は、局所的対称性および微分差分方程式の階層とどのように関係するか。
• RQ4 離 discrete 系の非局所的対称性は、2次元Toda格子のBäcklund変換とどのように対応するか。
• RQ5 異なる離 discrete 系が、非標準的な初期値問題を有する一貫した2次元および3次元格子を形成するための条件は何か。

主な発見

• 本フレームワークにより、$N=3$ の場合に新たな可積分系が得られ、特に商型ポテンシャル形式から導かれる九点型スカラー方程式（式 3.12）および加法型ポテンシャルから導かれる六点型スカラー方程式（式 3.13）が得られる。
• $N=2$ の場合、離散ポテンシャルKdV、修正KdV、離 discrete sine-Gordon方程式といった既知の系が再現される。
• 退化ケースでは、広田のKdV方程式の多成分一般化（式 3.53）が得られ、その中には新規の $3\times3$ 系が含まれる。
• マスター対称性の構成により、一般の互いに素なケースにおいて可換な対称性階層が生成されるが、可換性は証明されていないものの、例では反証されない。
• 商型ポテンシャル形式における非局所的対称性は、2次元Toda格子に対してBäcklund変換として作用し、3成分系の場合（$\ell_i - k_i = 1$）には3つの異なる変換が生じる。
• 一般系における離 discrete 系は、2次元Toda格子の非線形重ね合わせ公式に対応しており、可積分性および統一的構造の確認がなされる。