[論文レビュー] $\mathcal{K}-$convergence as a new tool in numerical analysis

Eduard Feireisl, Mária Lukáčová–Medvid’ová+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異的でない非線形PDE、特に等エントロピーEuler系の数値スキームの収束を分析するための新しい枠組みとして$χ$-収束を導入する。Komlós型$χ$-収束を、物理空間および位相空間上のYoung測度として表現された数値解の列に適応することで、著者らは、古典的解が存在しない場合でさえも、数値解のCesàro平均がほとんど everywhereで発散的測度値解に点単位収束することを証明した。これは、Laxの等価定理の非線形版を提供する。

ABSTRACT

We adapt the concept of $\mathcal{K}-$convergence of Young measures to the sequences of approximate solutions resulting from numerical schemes. We obtain new results on pointwise convergence of numerical solutions in the case when solutions of the limit continuous problem possess minimal regularity. We apply the abstract theory to a finite volume method for the isentropic Euler system describing the motion of a compressible inviscid fluid. The result can be seen as a nonlinear version of the fundamental Lax equivalence theorem.

研究の動機と目的

• 等エントロピーEuler系の数値スキームの収束を扱う。この問題は数学的に不適切であり、無限に多くの弱解を許容する可能性がある。
• 古典的解が存在しない場合でも、数値近似の収束を分析できる、Young測度の$χ$-収束に基づく新しい理論的枠組みを構築する。
• 極限問題の解の一意性が欠如する状況においても、収束を保証する基準を確立する。
• 数値解における振動的挙動に基づく基準を提示し、古典的解の不在を検出する。
• 周期的領域における等エントロピーEuler系の有限体積法の収束解析を通じて、理論を実証する。

提案手法

• 数値解の列を物理空間および位相空間上のYoung測度として扱い、Young測度への$χ$-収束の概念を数値解に適応する。
• 振動を伴う解と伴わない解を区別するため、弱-$χ$収束と強-$χ$収束を定義する。
• Komlósの定理を適用し、数値解のCesàro平均が$L^1$内にほとんど everywhereで極限関数に収束することを示す。
• 安定性と一貫性を保証するため、消える粘性項を含む等エントロピーEuler系の有限体積スキームを構築する。
• 離散的エネルギーバランスと一貫性推定を用いて、部分列に関してスキームの収束を証明する。
• 数値解のCesàro平均が極限でDirac質量に収束しない場合、古典的解は存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小限の正則性をもつ非線形PDEの数値解に対して、$χ$-収束を拡張できるか？
• RQ2 古典的解が存在しない場合でも、数値解のCesàro平均が点単位で一般化解に収束するか？
• RQ3 数値列における振動的挙動は、極限で古典的解が存在しないことを示す指標として機能できるか？
• RQ4 極限解が一意である場合に、$χ$-収束を用いて数値スキームの無条件収束を証明できるか？
• RQ5 Young測度を明示的に参照せずに、等エントロピーEuler系の発散的解を特徴づけられるか？

主な発見

• 数値解の算術平均は、等エントロピーEuler系の発散的測度値解にほとんど everywhereで点単位収束する。
• 極限の発散的解が一意である場合、収束は無条件となる。
• 数値解のCesàro平均が極限でDirac質量に収束しない（すなわち、正の測度の集合上で$G \neq g(\varrho,\mathbf{m})$である）場合、初期データに対して古典的解は存在しない。
• この枠組みは、不適切な問題に対するLaxの等価定理の非線形一般化を提供する。
• 数値解における振動欠損項—$\mathfrak{D}_{\rm kin}$、$\mathfrak{D}_{\rm conv}$、および$\mathfrak{D}_{\rm int}$で定量化される—を用いて、古典的解の不在を検出できる。
• 運動量およびエネルギーバランスにおける欠損項を直接分析することで、Young測度を明示的に参照せずに発散的解の概念を定義できる。