[論文レビュー] $\mathcal{P}_m$ Interior Penalty Nonconforming Finite Element Methods for $2m$-th Order PDEs in $\mathbb{R}^n$

Shuonan Wu, Jinchao Xu|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^n$ 上の $2m$ 階 PDE に対して、$\mathcal{P}_m$ 形状関数と内部ペナルティ項を用いて、$m > n$ の場合に収束を保証する最小の $\pi_m$ 内部ペナルティ非適合有限要素法の族を提案する。ペナルティパラメータを $\mathcal{O}(1)$ に保つことで、適合要素を必要とせず、高次の PDE のロバストで単純かつ柔軟な離散化が可能となる。エネルギーノルムにおける準最適誤差推定が達成される。

ABSTRACT

In general $n$-dimensional simplicial meshes, we propose a family of interior penalty nonconforming finite element methods for $2m$-th order partial differential equations, where $m \geq 0$ and $n \geq 1$. For this family of nonconforming finite elements, the shape function space consists of polynomials with a degree not greater than $m$, making it minimal. This family of finite element spaces exhibits natural inclusion properties, analogous to those in the corresponding Sobolev spaces in the continuous case. By applying interior penalty to the bilinear form, we establish quasi-optimal error estimates in the energy norm. Due to the weak continuity of the nonconforming finite element spaces, the interior penalty terms in the bilinear form take a simple form, and an interesting property is that the penalty parameter needs only to be a positive constant of $\mathcal{O}(1)$. These theoretical results are further validated by numerical tests.

研究の動機と目的

• 任意の次元 $n$ における高次の PDE（$2m$ 階）に対して、単純で最小限かつ柔軟な有限要素法を開発すること。
• $m \geq 2$ または $n \geq 2$ の場合に $C^{m-1}$ 致密要素を構築する困難さにより生じる複雑で現実的でない要素を回避すること。
• $m \leq n$ の制限を超えて、モーリー＝ワン＝シュウの非適合要素を内部ペナルティ項を導入することで $m > n$ に拡張すること。
• 適合有限要素の存在を仮定せず、最小限の正則性仮定のもとで収束性と準最適誤差推定を保証すること。

提案手法

• $\mathcal{P}_m$ 多項式形状関数を非適合有限要素空間に用い、単純さと局所的効率性を確保する。
• 要素の面上に内部ペナルティ項を導入し、$m > n$ の場合の安定化と一貫性誤差の制御を図る。ペナルティパラメータは $\mathcal{O}(1)$ に設定する。
• 微分の弱連続性（$m-1$ 階まで）を保つための自由度を定義し、連続問題と一貫性を保つ。
• 破損 $H^m$ 内積と、微分のジャンプに関する面積分を組み合わせた双一次形式を構築。ペナルティ項は $h_F^{-2m+1}$ に比例してスケーリングする。
• 対称性と正定値性を保ちつつ、弱連続性をペナルティ項で強制する変分形式を適用する。
• 局所多項式次数 $m$ の非適合有限要素空間 $V_h$ を用い、誤差解析のための破損ソボレフノルムとジャンプ作用素を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m > n$ の場合に、$\mathcal{P}_m$ 多項式に基づく最小の非適合有限要素法を、$\mathbb{R}^n$ 上の $2m$ 階 PDE に対して構築可能か。
• RQ2 適合要素が存在しない状況下で、収束性と最適誤差推定を保証するための内部ペナルティ項をどのように設計できるか。
• RQ3 このような非適合法において、エネルギーノルムで準最適収束率を達成するために必要な最小正則性は何か。
• RQ4 メッシュサイズに依存しない $\mathcal{O}(1)$ の定数としてペナルティパラメータを保持できるか。これにより、条件数のロバスト性が保証されるか。
• RQ5 解の正則性が低下する非凸領域に対しても、同様に最適収束率を維持できるか。

主な発見

• 適合有限要素が存在すると仮定した下で、エネルギーノルム $\|u - u_h\|_h \lesssim h^s |u|_{m+s}$ において準最適誤差推定が達成され、$s = \min\{1,t\}$ となる。
• $u \in H^{m+t}(\Omega)$ である解に対して、破損 $H^m$ ノルムにおいて $h^{\min(1,t)}$ の収束順序が達成され、最適収束率と一致する。
• 数値実験により、単位正方形上での滑らかな解に対して $H^3$ ノルムで線形収束（観測収束順序 $\approx 1.00$、$m=3,n=2$）が確認され、定理 4.9 の妥当性が裏付けられる。
• 特異解を持つ L 字型領域（$u \in H^{3+1/2}$）では、破損 $H^3$ ノルムにおいて収束順序 $\approx 0.5$ が達成され、理論的予測の $h^{1/2}$ と一致する。
• ペナルティパラメータ $\eta$ は $\mathcal{O}(1)$ の定数（例：$\eta = 1$）として選べるため、条件数のロバスト性と実用的効率性が保証される。
• 同法は剛性行列の対称性と正定値性を維持しており、線形方程式系の効率的解法が可能となる。