[論文レビュー] Mathematical analysis of stochastic models for tumor-immune systems

O. Chis, Dumitru Opriş|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 18被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ウィーナ過程による生物的ノイズを捉えるために、伊藤型ストキャスティック微分方程式を用いた腫瘍-免疫相互作用の数学的解析を提案する。リャプノフ指数解析と2次スケームによる数値シミュレーションを適用することで、Kuznetsov-TaylorおよびBell型モデルにおける均衡点におけるストキャスティック安定性を評価し、パラメータ依存のノイズが長期的な腫瘍動態および免疫応答の持続性に与える影響を示している。

ABSTRACT

In this paper we investigate some stochastic models for tumor-immune systems. To describe these models we used a Wiener process, as the noise has a stabilization effect. Their dynamics are studied in terms of stochastic stability in the equilibrium points, by constructing the Lyapunov exponent, depending on the parameters that describe the model. We have studied and analyzed a Kuznetsov-Taylor like stochastic model and a Bell stochastic model for tumor-immune systems. These stochastic models are studied from stability point of view and they were represented using the Euler second order scheme.

研究の動機と目的

• ウィーナ過程を用いた確率的摂動の下で腫瘍-免疫相互作用モデルのストキャスティック安定性を調査すること。
• Kuznetsov-TaylorおよびBell型腫瘍-免疫モデルにおける均衡点の安定性にノイズが与える影響を分析すること。
• これらのモデルにおけるストキャスティック微分方程式の数値シミュレーションに適した2次スケームの開発および適用すること。
• ストキャスティック系におけるほとんど確実な指数的安定性の指標としてのリャプノフ指数の計算。
• Fokker-Planck方程式を用いて位相変数の不変確率分布を導出し、数値的に検証すること。

提案手法

• ウィーナ過程ノイズを伴う伊藤型ストキャスティック微分方程式を用いて、Kuznetsov-TaylorおよびBell型腫瘍-免疫モデルの確率的バージョンを定式化する。
• 弱収束の次数2を満たす2次オーダーのオイラー・スキームを適用し、ドリフト項、拡散項、および高次補正項を組み込む。
• 位相変数θの不変確率密度関数のためのFokker-Planck方程式を導出し、長期的な統計的解析を可能にする。
• 不変分布による重み付けを施したドリフトおよび拡散係数の積分を用いてリャプノフ指数を計算する：λ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθ。
• 数値シミュレーションにおけるウィーナ增量の生成に、ボックス＝ムラー法を用いて標準正規乱数を生成する。
• 一様グリッド上にN点を設け、後退差分スキームを用いてFokker-Planck方程式を数値的に解く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウィーナ過程からの加法的ノイズが、腫瘍-免疫モデルの均衡状態のストキャスティック安定性にどのように影響するか。
• RQ2 リャプノフ指数が、ストキャスティック腫瘍-免疫系におけるほとんど確実な指数的安定性を決定づける役割を果たすか。
• RQ3 Kuznetsov-Taylorモデルにおけるパrameterの変化が、確率的摂動下での安定均衡点と不安定均衡点の間の遷移に与える影響は何か。
• RQ4 Fokker-Planck方程式を用いて、位相変数の不変確率分布を解析的および数値的に近似できるか。
• RQ5 2次スケームが、標準オイラー・スキームと比較して、これらのストキャスティック系の数値シミュレーションの精度をどの程度向上させるか。

主な発見

• リャプノフ指数はλ = ∫[q₁(θ) + ½(q₄(θ)² - q₂(θ))]p(θ)dθとして計算され、p(θ)はFokker-Planck方程式から導かれる不変確率密度関数である。
• 行列B = [α, -β; β, α]の特別な場合において、不変分布はp(θ) = K / β² exp{[ (a₂₁ - a₁₂ - αβ)θ + ½(a₁₁ - a₂₂)cos(2θ) + ½(a₂₁ - a₁₂)sin(2θ) ] / β²}で与えられ、Kは正規化を保証する。
• リャプノフ指数はλ = ½(a₁₁ + a₂₂ + β² - α²) + ½(a₁₁ - a₂₂)c₂ + ½(a₂₁ + a₁₂)s₂に簡略化され、ここでc₂およびs₂はp(θ)に対するcos(2θ)およびsin(2θ)の積分である。
• Maple 12と2次オイラー・スキームを用いた数値シミュレーションにより、ストキャスティックモデルの弱収束次数2が確認された。
• 位相分布はh = π/Nのグリッド上で後退差分スキームにより近似され、F(i)およびp(i)を含む再帰関係を満たす。
• Fokker-Planck方程式は1階常微分方程式として解かれる：(−q₃(θ) + q₁(θ)q₄(θ) + q₂(θ)q₅(θ))p(θ) + ½q₄(θ)²p′(θ) = p₀、ここでq₅(θ)は2θの三角関数関数で定義される。